Att bemästra begreppen sinus och cosinus är en integrerad del av trigonometri. Men när du väl har dessa idéer under bältet blir de byggstenarna för andra användbara verktyg inom trigonometri och, senare, kalkyl. Till exempel är ”cosinuslagen” en speciell formel som du kan använda för att hitta den saknade sidan i en triangel om du vet längden på de andra två sidorna plus vinkeln mellan dem, eller för att hitta vinklarna i en triangel när du känner alla tre sidorna.
Lagen om Cosinus
Cosinuslagen finns i flera versioner, beroende på vilken vinklar eller sidor av triangeln du har att göra med:
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc × cos(A) \ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac × cos(B) \ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab × cos(C)
I varje fall, a, b och c är sidorna i en triangel och A, B, eller C är vinkeln motsatt sidan av samma brev. Så A är vinkeln på motsatt sida a, B är vinkeln på motsatt sida b och C är vinkeln på motsatt sida c. Detta är formen på ekvationen som du använder om du hittar längden på en av triangelns sidor.
Cosinuslagen kan också skrivas om i versioner som gör det lättare att hitta någon av triangelns tre vinklar, förutsatt att du vet längden på alla tre triangelns sidor:
Lösa för en sida
För att använda cosinuslagen för att lösa sidan av en triangel behöver du tre delar av information: längden på triangelns två andra sidor, plus vinkeln mellan dem. Välj versionen av formeln där sidan du vill hitta är till vänster om ekvationen och informationen du redan har är till höger. Så om du vill hitta längden på sidan a, skulle du använda version a^2 = b^2 + c^2 – 2bc × cos(A)
Ersättare värdena för de två kända sidorna, och vinkeln mellan dem, in i formeln. Om din triangel har kända sidor b och c som mäter 5 enheter respektive 6 enheter, och vinkeln mellan dem mäter 60 grader (vilket också kan uttryckas i radianer som π/3) skulle du ha:
a^2 = 5^2 + 6^2 – (2 × 5 × 6) × cos(60)
Använd en tabell eller din miniräknare att slå upp värdet på cosinus; i det här fallet, cos(60) = 0,5, vilket ger dig ekvationen:
a^2 = 5^2 + 6^ 2 – (2 × 5 × 6) × 0,5
Förenkla resultatet av Steg 2. Detta ger dig:
a^2 = 25 + 36 – 30
Vilket i sin tur förenklar till:
a^2 = 31
Ta kvadratroten på båda sidorna för att slutföra lösningen för a. Detta lämnar dig med:
a = sqrt{31}
Även om du kan använda ett diagram eller din miniräknare för att uppskatta värdet av √31 (det är 5,568), kommer du ofta att vara tillåts – och till och med uppmuntras – att lämna svaret i dess mer exakta radikala form.
Lösa för en vinkel
Du kan använda samma process för att hitta vilken som helst av triangelns vinklar om du känner till alla tre sidorna. Den här gången väljer du den version av formeln som placerar den saknade eller ”vet inte”-vinkeln till vänster om likhetstecknet. Föreställ dig att du vill hitta måttet på vinkel C (som, kom ihåg, definieras som vinkeln på motsatt sida c)). Du skulle använda den här versionen av formeln: cos(C) = frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}
Sätt in de kända värdena – i den här typen av problem, det vill säga längden på alla tre av triangelns sida – i ekvationen. Som ett exempel, låt sidorna i din triangel vara a = 3 enheter, b = 4 enheter och c = 25 enheter. Så din ekvation blir:
cos(C) = frac{3^2 + 4^2 – 5^2} {2 × 3 × 4}
När du förenklar den resulterande ekvationen har du:
cos(C) = frac{0}{24} eller helt enkelt cos(C) = 0.
Beräkna invers cosinus eller bågcosinus av 0, ofta noterad som cos -1(0). Eller, med andra ord, vilken vinkel har cosinus 0? Det finns faktiskt två vinklar som returnerar detta värde: 90 grader och 270 grader. Men per definition vet du att varje vinkel i en triangel måste vara mindre än 180 grader, så det lämnar bara 90 grader som ett alternativ.
Så måttet på din saknade vinkel är 90 grader, vilket betyder att du råkar ha att göra med en rätvinklig triangel, även om den här metoden också fungerar med icke-räta trianglar.
