De flesta minns Pythagoreas sats från nybörjargeometri – det är en klassiker. Det är a^2 + b^2 = c^2 där a, b och c är sidorna i en rätvinklig triangel (c är hypotenusan). Tja, denna sats kan också skrivas om för trigonometri!
Pythagoreiska identiteter är ekvationer som skriver Pythagoras sats i termer av trigfunktionerna.
De huvudsakliga pytagoreiska identiteterna är:
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 \ 1 + tan^2(θ) = sec^2(θ) \ 1 + cot^2(θ) = csc^2(θ)
De pythagoreiska identiteterna är exempel på trigonometriska identiteter: likheter (ekvationer) som använder trigonometriska funktioner.
Varför spelar det roll?
De Pythagoras identiteter kan vara mycket användbara för att förenkla komplicerade triggsatser och ekvationer. Memorera dem nu, så kan du spara mycket tid på vägen!
Bevis genom att använda definitionerna av triggfunktionerna
Dessa identiteter är ganska enkla att bevisa om du tänker på definitionerna av trigfunktionerna. Låt oss till exempel bevisa att
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
Kom ihåg att definitionen av sinus är motsatt sida/hypotenusa, och att cosinus är intilliggande sida / hypotenusa.
Så sin^2 = frac{text{motsatt}^2} {text {hypotenus}^2} Och cos^2 = frac{text{adjacent}^2} {text{hypotenuse}^2}
Du kan enkelt lägga ihop dessa två eftersom nämnarna är samma.
sin^2 + cos^2 = frac { text{motsatt}^2 + text{adjacent}^2} {text{hypotenus}^2}
Ta nu en ny titt på Pythagoras sats. Det står att a2 + b2 = c2. Tänk på att a och b står för motsatta och intilliggande sidor, och c står för hypotenusan.
Du kan ordna om ekvationen genom att dividera båda sidor med c2: a^2 + b^2 = c^2 \ frac{ a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
Sedan a2och b2 är de motsatta och intilliggande sidor och c
2 är hypotenusan , du har en motsvarande påstående som den ovan, med (motsatt2+ intilliggande2) / hypotenusa2. Och tack vare arbetet med abc och Pythagoras sats kan du nu se detta påstående är lika med 1!
frac{ text{motsatt}^2 + text {adjacent}^2} {text{hypotenus}^2} = 1 och därför: sin^2 + cos^2 = 1
(Och det är bättre att skriva ut det ordentligt: sin2(θ) + cos2(θ) = 1).
De ömsesidiga identiteterna
Låt oss ägna några minuter åt att titta på de ömsesidiga identiteterna likaså. Kom ihåg att reciprocal är en dividerad med (”över”) ditt tal – även känd som inversen.
Eftersom cosecant är det ömsesidiga av sinus:
csc(θ) = frac{1}{sin(θ)}
Du kan också tänka på cosecant genom att använda definitionen av sinus. Till exempel, sinus = motsatt sida / hypotenusa. Motsatsen till det kommer att vara bråket vänt upp och ner, vilket är hypotenusa / motsatt sida.
På liknande sätt är cosinus ömsesidiga sekant, så det definieras som sec(θ) = frac{1}{cos(θ)} text{ eller } frac{text{hypotenus}} {text{intilliggande sida}}
Och tangentens reciproka är cotangens, så cot(θ ) = frac{1}{tan(θ)} = frac{text{intilliggande sida}}{text{motsatta sidan}}
Bevisen för Pythagoras identiteter med hjälp av secant och cosecant är mycket lika den för sinus och cosinus. Du kan också härleda ekvationerna med hjälp av ”förälder”-ekvationen, sin2 (θ) + cos2(θ) = 1. Dividera båda sidor med cos2(θ) för att få identiteten 1 + tan2(θ) = sek2 (θ). Dela båda sidor med synd2
(θ) till få identiteten 1 + barnsäng2 (θ) = csc2(θ).
Lycka till och var noga med att memorera de tre pytagoreiska identiteterna!
