I en geometrisk sekvens är varje term lika med föregående term gånger en konstant multiplikator som inte är noll som kallas den gemensamma faktorn. Geometriska sekvenser kan ha ett fast antal termer, eller så kan de vara oändliga. I båda fallen kan termerna för en geometrisk sekvens snabbt bli mycket stora, mycket negativa eller mycket nära noll. Jämfört med aritmetiska sekvenser ändras termerna mycket snabbare, men medan oändliga aritmetiska sekvenser ökar eller minskar stadigt, kan geometriska sekvenser närma sig noll, beroende på den gemensamma faktorn.
En geometrisk sekvens är en ordnad lista med tal där varje term är produkten av föregående term och en fast, icke-noll multiplikator som kallas den gemensamma faktorn. Varje term i en geometrisk sekvens är det geometriska medelvärdet av termerna före och efter den. Oändliga geometriska sekvenser med en gemensam faktor mellan +1 och −1 närmar sig gränsen noll när termer läggs till medan sekvenser med en gemensam faktor större än +1 eller mindre än −1 går till plus eller minus oändlighet.
Hur geometriska sekvenser fungerar
En geometrisk sekvens definieras av dess startnummer a, den gemensamma faktorn r och antalet termer S. Den motsvarande allmänna formen av en geometrisk sekvens är: a, ar, ar^2, ar^3, … , ar^{S-1}
Den allmänna formeln för term n av en geometrisk sekvens (dvs vilken term som helst inom den sekvensen) är: a_n = ar^{n-1}
Den rekursiva formeln, som definierar en term med avseende på föregående term, är: a_n = ra_{n-1}
Ett exempel på en geometrisk sekvens med startnummer 3, gemensam faktor 2 och åtta led är 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Om man beräknar den sista termen med hjälp av den allmänna formen ovan, är termen: a_8 = 3 × 2^{8-1} = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384
Med den allmänna formeln för term 4: a_4 = 3 × 2^{4-1} = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24
Om du vill använda den rekursiva formeln för term 5, då term 4 = 24, och a 5 är lika med: a_5= 2 × 24 = 48
Geometriska sekvensegenskaper
Geometriska sekvenser har speciella egenskaper så långt det geometriska medelvärdet är bekymrad. Det geometriska medelvärdet av två tal är kvadratroten av deras produkt. Till exempel är det geometriska medelvärdet av 5 och 20 10 eftersom produkten 5 × 20 = 100 och kvadratroten av 100 är 10.
I geometriska sekvenser är varje term det geometriska medelvärdet av termen före den och termen efter den. Till exempel, i sekvensen 3, 6, 12 … ovan är 6 det geometriska medelvärdet av 3 och 12, 12 är det geometriska medelvärdet av 6 och 24, och 24 är det geometriska medelvärdet av 12 och 48.
Andra egenskaper hos geometriska sekvenser beror på vanlig faktor. Om den gemensamma faktorn r är större än 1, kommer oändliga geometriska sekvenser att närma sig positiv oändlighet . Om r är mellan 0 och 1, kommer sekvenserna att närma sig noll. Om r är mellan noll och −1, kommer sekvenserna att närma sig noll, men termer kommer att växla mellan positiva och negativa värden. Om r är mindre än −1 kommer termerna att utvecklas mot både positiva och negativa oändlighet då de växlar mellan positiva och negativa värden.
Geometriska sekvenser och deras egenskaper är särskilt användbara i vetenskapliga och matematiska modeller av verkliga processer. Användningen av specifika sekvenser kan hjälpa till med studiet av populationer som växer med en fast takt under givna tidsperioder eller investeringar som ger intresse. De allmänna och rekursiva formlerna gör det möjligt att förutsäga korrekta värden i framtiden baserat på utgångspunkten och den gemensamma faktorn.
