En periodisk funktion är en funktion som upprepar sina värden med regelbundna intervaller eller ”perioder”. Tänk på det som ett hjärtslag eller den underliggande rytmen i en låt: Den upprepar samma aktivitet på ett stadigt slag. Grafen för en periodisk funktion ser ut som att ett enda mönster upprepas om och om igen.
En periodisk funktion upprepar sina värden med regelbundna intervall eller ”perioder.”
Typer av periodiska funktioner
De mest kända periodiska funktionerna är trigonometriska funktioner: sinus, cosinus, tangent, cotangens, sekant , cosecant, etc. Andra exempel på periodiska funktioner i naturen inkluderar ljusvågor, ljudvågor och månens faser. Var och en av dessa, när de plottas på koordinatplanet, skapar ett upprepande mönster på samma intervall, vilket gör det lätt att förutsäga.
Perioden för en periodisk funktion är intervallet mellan två ”matchande” punkter på grafen. Med andra ord, det är avståndet längs x-axeln som funktionen måste resa innan den börjar upprepa sitt mönster. De grundläggande sinus- och cosinusfunktionerna har en period på 2π, medan tangent har en period på π.
Ett annat sätt att förstå period och upprepning för trigfunktioner är att tänka på dem i termer av enhetscirkeln. På enhetscirkeln går värden runt och runt cirkeln när de ökar i storlek. Den repetitiva rörelsen är samma idé som återspeglas i det stadiga mönstret av en periodisk funktion. Och för sinus och cosinus måste du göra en hel bana runt cirkeln (2π) innan värdena börjar upprepas.
Ekvation för en periodisk funktion
En periodisk funktion kan också definieras som en ekvation med denna form:
f(x + nP) = f(x)
Var P är perioden (en konstant som inte är noll) och n är ett positivt heltal.
T.ex. du kan skriva sinusfunktionen på detta sätt:
sin(x + 2π ) = sin(x)
n = 1 i det här fallet, och perioden, P, för en sinusfunktion är 2π.
Testa det genom att prova ett par värden för x, eller titta på grafen: Välj valfritt x-värdet, flytta sedan 2π i endera riktningen längs x-axel; y-värdet bör förbli detsamma.
Prova nu när n = 2:
sin(x + (2×2π)) = sin(x) \ sin(x + 4π) = sin(x)
Beräkna för olika värden på x: x = 0, x = π, x = π/2, eller kontrollera det på grafen.
Kotangenten funktion följer samma regler, men dess period är π radianer istället för 2π radianer, så dess graf och dess ekvation ser ut så här:
cot(x + nπ) = cot(x)
Lägg märke till att tangent- och cotangensfunktioner är periodiska, men de är inte kontinuerliga: Det finns ”avbrott” i deras grafer.
