I algebra är talsekvenser värdefulla för att studera vad som händer när något blir större eller mindre. En aritmetisk sekvens definieras av den gemensamma skillnaden, som är skillnaden mellan ett tal och nästa i sekvensen. För aritmetiska sekvenser är denna skillnad ett konstant värde och kan vara positiv eller negativ. Som ett resultat blir en aritmetisk sekvens hela tiden större eller mindre med ett fast belopp varje gång ett nytt tal läggs till i listan som utgör sekvensen.
En aritmetik sekvens är en lista med tal där på varandra följande termer skiljer sig med ett konstant belopp, den gemensamma skillnaden. När den gemensamma skillnaden är positiv fortsätter sekvensen att öka med ett fast belopp, medan om den är negativ minskar sekvensen. Andra vanliga sekvenser är den geometriska sekvensen, där termer skiljer sig åt med en gemensam faktor, och Fibonacci-sekvensen, där varje tal är summan av de två föregående talen.
Så fungerar en aritmetisk sekvens
En aritmetisk sekvens definieras av ett starttal, en gemensam skillnad och antalet termer i sekvensen. Till exempel, en aritmetisk sekvens som börjar med 12, en vanlig skillnad på 3 och fem termer är 12, 15, 18, 21, 24. Ett exempel på en minskande sekvens är en som börjar med talet 3, en gemensam skillnad på −2 och sex mandatperioder. Denna sekvens är 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Aritmetik sekvenser kan också ha ett oändligt antal termer. Till exempel skulle den första sekvensen ovan med ett oändligt antal termer vara 12, 15, 18, … och den sekvensen fortsätter till oändlighet.
Aritmetiskt medelvärde
En aritmetisk sekvens har en motsvarande serie som adderar alla termer i sekvensen. När termerna adderas och summan divideras med antalet termer, blir resultatet det aritmetiska medelvärdet eller medelvärdet. Formeln för det aritmetiska medelvärdet är text{mean}= frac{ text{ summan av }n text{ termer}}{n}
Ett snabbt sätt att beräkna medelvärdet av en aritmetisk sekvens är att använda observationen att, när den första och sista termen läggs till, är summan densamma som när den andra och näst sista termen läggs till eller den tredje och tredje till sista termen. Som ett resultat är summan av sekvensen summan av de första och sista termerna gånger hälften av antalet termer. För att få medelvärdet divideras summan med antalet termer, så medelvärdet av en aritmetisk sekvens är halva summan av de första och sista termerna. För n villkor a1 till an, motsvarande formeln för medelvärdet m är m= frac{a_1+a_n}{2}
Oändliga aritmetiska sekvenser har inte en sista term, och därför deras medelvärde är odefinierat. Istället kan ett medelvärde för en delsumma hittas genom att begränsa summan till ett definierat antal termer. I så fall kan delsumman och dess medelvärde hittas på samma sätt som för en icke-oändlig sekvens.
Andra typer av sekvenser
Talsekvenser är ofta baserade på observationer från experiment eller mätningar av naturliga fenomen. Sådana sekvenser kan vara slumpmässiga tal men ofta visar sig sekvenser vara aritmetiska eller andra ordnade listor med tal.
Till exempel skiljer sig geometriska sekvenser från aritmetiska sekvenser eftersom de har en gemensam faktor snarare än en gemensam skillnad. Istället för att lägga till eller subtrahera ett tal för varje ny term, multipliceras eller divideras ett tal varje gång en ny term läggs till. En sekvens som är 10, 12, 14, … som en aritmetisk sekvens med en gemensam skillnad på 2 blir 10, 20, 40, … som en geometrisk sekvens med en gemensam faktor på 2.
Andra sekvenser följer helt andra regler. Till exempel bildas Fibonacci-sekvenstermerna genom att lägga till de två föregående talen. Dess sekvens är 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Termerna måste läggas till individuellt för att få en delsumma eftersom den snabba metoden att lägga till den första och sista termen inte fungerar för denna sekvens.
Aritmetiska sekvenser är enkla men de har verkliga applikationer. Om utgångspunkten är känd och den gemensamma skillnaden kan hittas, kan seriens värde vid en specifik punkt i framtiden beräknas och medelvärdet kan också bestämmas.
