Andragradsekvationer är formler som kan skrivas i formen Ax^2 + Bx + C = 0. Ibland kan en andragradsekvation förenklas genom att faktorisera, eller uttrycka ekvationen som en produkt av separata termer. Detta kan göra ekvationen lättare att lösa. Faktorer kan ibland vara svåra att identifiera, men det finns knep som kan göra processen lättare.
Minska ekvationen med den största gemensamma faktorn
Undersök andragradsekvationen för att avgöra om det finns ett tal och/eller en variabel som kan dividera varje term i ekvationen. Tänk till exempel på ekvationen 2x^2 + 10x + 8 = 0. Det största antalet som kan delas jämnt i varje term i ekvationen är 2, så 2 är den största gemensamma faktorn (GCF).
Dividera varje term i ekvationen med GCF och multiplicera hela ekvationen med GCF. I exemplet med ekvationen 2x^2 + 10x + 8 = 0, skulle detta resultera i 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0/2).
Förenkla uttrycket genom att fylla i divisionen i varje term. Det ska inte finnas några bråk i den slutliga ekvationen. I exemplet skulle detta resultera i 2(x^2 + 5x + 4) = 0.
Leta efter Skillnad mellan kvadrater (om B = 0)
Undersök andragradsekvationen för att se om den är i formen Ax^2 + 0x – C = 0, där A = y^2 och C = z^2. Om så är fallet uttrycker andragradsekvationen skillnaden mellan två kvadrater. Till exempel, i ekvationen 4x^2 + 0x – 9 = 0, A = 4 = 2^2 och C = 9 = 3^2, så y = 2 och z = 3.
Faktorisera ekvationen till formen (yx + z)(yx – z) = 0. I exemplet är y = 2 och z = 3; därför är den faktoriserade andragradsekvationen (2x + 3)(2x – 3) = 0. Detta kommer alltid att vara den faktoriserade formen av en andragradsekvation som är skillnaden mellan kvadrater.
Leta efter perfekta kvadrater
Undersök andragradsekvationen för att se om det är en perfekt kvadrat. Om andragradsekvationen är en perfekt kvadrat kan den skrivas på formen y^2 + 2yz + z^2, som ekvationen 4x^2 + 12x + 9 = 0, som kan skrivas om till (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2. I det här fallet är y = 2x och z = 3.
Kontrollera om termen 2yz är positiv. Om termen är positiv är faktorerna för den perfekta kvadratiska andragradsekvationen alltid (y + z)(y + z). Till exempel, i ekvationen ovan är 12x positivt, därför är faktorerna (2x + 3)(2x + 3) = 0.
Kontrollera om termen 2yz är negativ. Om termen är negativ är faktorerna alltid (y – z)(y – z). Till exempel, om ekvationen ovan hade termen -12x istället för 12x, skulle faktorerna vara (2x – 3)(2x – 3) = 0.
Omvänd FOIL Multiplikationsmetod (Om A = 1)
Sätt upp den faktoriserade formen av andragradsekvationen genom att skriva (vx + w)(yx + z) = 0. Återkalla reglerna för FOIL-multiplikation (Först, Utanför, Insidan, Sista ). Eftersom den första termen i andragradsekvationen är en Ax^2 måste båda faktorerna i ekvationen inkludera ett x.
Lös för v och y genom att beakta alla faktorer för A i andragradsekvationen. Om A = 1 kommer både v och y alltid att vara 1. I exemplets ekvation x^2 – 9x + 8 = 0, A = 1, så kan v och y lösas i den faktoriserade ekvationen för att få (1x + w )(1x + z) = 0.
Bestämma om w och z är positiva eller negativa. Följande regler gäller: C = positiv och B = positiv; båda faktorerna har ett + tecken C = positiv och B = negativ; båda faktorerna har ett – tecken C = negativt och B = positivt; faktorn med det största värdet har ett + tecken C = negativ och B = negativ; faktorn med det största värdet har ett – tecken. I exempelekvationen från steg 2, B = -9 och C = +8, så kommer båda faktorerna i ekvationen att ha – tecken, och den faktoriserade ekvationen kan skrivas som (1x – w)(1x – z) = 0.
Gör en lista över alla faktorer för C för att hitta värdena för w och z. I exemplet ovan är C = 8, så faktorerna är 1 och 8, 2 och 4, -1 och -8, och -2 och -4. Faktorerna måste summeras till B, vilket är -9 i exemplets ekvation, så w = -1 och z = -8 (eller vice versa) och vår ekvation är helt faktoriserad som (1x – 1)(1x – 8) = 0.
Boxmetod (om A inte gör det = 1)
Reducera ekvationen till dess enklaste form, med hjälp av metoden med största gemensamma faktorn som anges ovan. Till exempel, i ekvationen 9x^2 + 27x – 90 = 0, är GCF 9, så ekvationen förenklas till 9(x^2 + 3x – 10).
Rita en ruta och dela upp den i en tabell med två rader och två kolumner. Sätt Ax^2 i den förenklade ekvationen i rad 1, kolumn 1 och C i den förenklade ekvationen i rad 2, kolumn 2.
Multiplicera A med C och hitta alla faktorer för produkten. I exemplet ovan är A = 1 och C = -10, så produkten är (1)(-10) = -10. Faktorerna -10 är -1 och 10, -2 och 5, 1 och -10 samt 2 och -5.
Identifiera vilken av faktorerna i produkten AC som summerar till B. I exemplet är B = 3. Faktorerna -10 som summerar till 3 är -2 och 5.
Multiplicera var och en av de identifierade faktorerna med x. I exemplet ovan skulle detta resultera i -2x och 5x. Sätt dessa två nya termer i de två tomma utrymmena i diagrammet, så att tabellen ser ut så här:
x^2 | 5x-2x | -10
Hitta GCF för varje rad och kolumn i rutan. I exemplet är CGF för den översta raden x, och för den nedre raden är -2. GCF för den första kolumnen är x, och för den andra kolumnen är 5.
Skriv den faktoriserade ekvationen i formen (w + v) (y + z) med hjälp av faktorerna identifierade från diagramraderna för w och v, och faktorer identifierade från diagramkolumnerna för y och z. Om ekvationen förenklades i steg 1, kom ihåg att inkludera ekvationens GCF i det faktoriserade uttrycket. I fallet med exemplet kommer den faktoriserade ekvationen att vara 9(x – 2)(x + 5) = 0.
Se till att ekvationen är i standardkvadratform innan du börjar med någon av de beskrivna metoderna.
Det är inte alltid lätt att identifiera en perfekt kvadrat eller skillnad på rutor. Om du snabbt kan se att den andragradsekvation som du försöker faktorisera finns i en av dessa former, så kan det vara till stor hjälp. Lägg dock inte mycket tid på att försöka reda ut detta, eftersom de andra metoderna kan vara snabbare.
Kontrollera alltid ditt arbete genom att multiplicera ut faktorerna med FOIL-metoden. Faktorerna ska alltid multiplicera tillbaka till den ursprungliga andragradsekvationen.
