Alla matematikelever och många naturvetenskapsstudenter stöter på polynom i något skede under sina studier, men tack och lov är de lätta att hantera när du väl lärt dig grunderna. De huvudsakliga operationerna du behöver göra med polynomuttryck är att addera, subtrahera, multiplicera och dividera, och även om division kan vara komplext, kommer du oftast att kunna hantera grunderna med lätthet.
Polynom: Definition och exempel
Polynom beskriver ett algebraiskt uttryck med en eller flera termer som involverar en variabel (eller fler än en), med exponenter och möjligen konstanter . De kan inte inkludera division med en variabel, kan inte ha negativa eller bråkdelar och måste ha ett ändligt antal termer.
Det här exemplet visar ett polynom: x^3 + 2 x^ 2 – 9 x – 4
Och detta visar en annan:
xy^2 – 3 x + y
Det finns många sätt att klassificera polynom, inklusive efter grad (summan av exponenterna på termen med högsta potens, t.ex. 3 i det första exemplet) och efter antalet termer som de innehåller, såsom monomialer ( en term), binomialer (två termer) och trinomialer (tre termer).
Att lägga till och subtrahera polynom
Att lägga till och subtrahera polynom beror på att man kombinerar ”lika” termer. En liknande term är en med samma variabler och exponenter som en annan, men antalet de multipliceras med (koefficienten) kan vara olika. Till exempel, x2 och 42 är liknande termer eftersom de har samma variabel och exponent, och 2 xy4 och 6 xy4 är också liknande termer. Men x2, x3, x2y2 och y2 är inte lika termer, eftersom var och en innehåller olika kombinationer av variabler och exponenter.
Lägg till polynom genom att kombinera liknande termer på samma sätt som du skulle göra med andra algebraiska termer. Titta till exempel på problemet:
(x^3 + 3 x ) + (9 x^3 + 2 x + y)
Samla in liknande villkor för att få:
(x^3 + 9 x^3) + (3 x + 2 x ) + y
Och utvärdera sedan genom att helt enkelt addera koefficienterna och kombinera till en enda term:
10 x^3 + 5 x + y
Observera att du inte kan göra något med y eftersom det inte har någon liknande term.
Subtraktion fungerar på samma sätt:
(4 x^4 + 3 y^2 + 6 y ) – (2 x^4 + 2 y^2 + y)
Observera först att alla termer i den högra parentesen är subtraherade från de i den vänstra parentesen, så skriv det som:
4 x^4 + 3 y^2 + 6 y – 2 x^4 – 2 y^2- y
Kombinera liknande termer och utvärdera för att få:
(4 x^4 – 2 x^4) + (3 y^2 – 2 y^2) + (6 y – y) = 2 x^4 + y^2 + 5 y
För ett problem så här:
(4 xy + x^2) – (6 xy – 3 x^2)
Observera att minustecknet tillämpas på hela uttrycket i den högra parentesen, så de två negativa tecknen före 3x2
blir ett additionstecken:
(4 xy + x^2) – (6 xy – 3 x^2) = 4 xy + x^2 – 6 xy + 3 x^2
Räkna sedan som tidigare.
Multiplicera polynomuttryck
Multiplicera polynomuttryck genom att använda den fördelande egenskapen för multiplikation. Kort sagt, multiplicera varje term i det första polynomet med varje term i den andra. Titta på detta enkla exempel:
4 x × (2 x^2 + y)
Du löser detta med hjälp av fördelningsegenskapen, så:
Tackla mer komplicerade problem på samma sätt:
begin{aligned} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x^2 + 2 x )) \ &= (2 y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2) + (3 x × 2 x ) \ &= 10 y^3x^2 + 4 y^3x + 15 x^3 + 6 x^2 end{aligned}
Dessa problem kan bli komplicerade för större grupperingar, men den grundläggande processen är fortfarande det samma.
Delande polynomuttryck
Att dividera polynomuttryck tar längre tid men du kan hantera det i steg. Titta på uttrycket:
Först, skriv uttrycket som en lång division, med divisorn till vänster och utdelningen till höger:
x + 2 ) overline{x^2 – 3 x – 10}
Dela den första terminen i utdelningen med den första terminen i divisorn och sätt resultatet på raden ovanför divisionen. I det här fallet, x2 ÷ x = x,
alltså:
begin{aligned} &x \ x + 2 )&overline{x^2 – 3 x – 10} end{aligned}
Multiplicera detta resultat med hel divisor, så i det här fallet, (x + 2) × x = x2 + 2 x .
Sätt detta resultat under divisionen:
begin{aligned} &x \ x + 2 )&overline{x^ 2 – 3 x – 10} \ &x^2 + 2 x end{aligned}
Subtrahera resultatet på den nya raden från termerna direkt ovanför den (observera att du tekniskt sett ändrar tecknet, så om du hade ett negativt resultat lägger du till det istället) och sätter detta på en rad under det. Flytta den sista terminen från den ursprungliga utdelningen ner också.
begin{aligned} &x \ x + 2 )& överlinje{x^2 – 3 x – 10} \ &x^2 + 2 x \ &0 – 5 x – 10 end{aligned}
Upprepa nu processen med divisorn och det nya polynomet på slutsats. Så dividera den första termen av divisor (x) vid den första utdelningsperioden (−5 x ) och sätt detta ovan:
begin{aligned} &x -5\ x + 2 )&överlinje{x^2 – 3 x – 10} \ &x^2 + 2 x \ &0 – 5 x – 10 end{aligned}
Multiplicera detta resultat (−5 x ÷ x = −5) med den ursprungliga divisorn (så ( x + 2) × −5 = −5 x −10) och lägg resultatet på en ny nedersta rad:
begin{aligned} &x -5\ x + 2 )& överlinje{x^2 – 3 x – 10} \ &x^2 + 2 x \ &0 – 5 x – 10 \ & -5 x – 10 end{aligned}
Subtrahera sedan nedersta raden från nästa uppåt (så i det här fallet ändra tecknet och lägg till), och lägg resultatet på en ny nedersta rad:
begin{aligned} &x -5\ x + 2 )&overline{x^2 – 3 x – 10} \ &x^2 + 2 x \ &0 – 5 x – 10 \ & -5 x – 10 \ & 0 quad 0 end{aligned}
Eftersom det nu finns en rad med nollor längst ner är processen avslutad. Om det fanns termer som inte var noll kvar, skulle du upprepa processen igen. Resultatet är på den översta raden, så:
frac{x^2 – 3 x – 10}{x + 2} = x – 5
Denna division och några andra kan lösas enklare om du kan faktorisera polynomet i utdelningen.
