Lösa polynomfunktioner är en nyckelfärdighet för alla som studerar matematik eller fysik, men att ta tag i processen – särskilt när det kommer till funktioner av högre ordning – kan vara ganska utmanande. En kubikfunktion är en av de mest utmanande typerna av polynomekvationer du kan behöva lösa för hand. Även om det kanske inte är lika enkelt som att lösa en andragradsekvation, finns det ett par metoder du kan använda för att hitta lösningen på en kubikekvation utan att ta till sidor och sidor med detaljerad algebra.
Vad är en kubikfunktion?
En kubisk funktion är ett tredjegradspolynom. En allmän polynomfunktion har formen:
Här, x är variabeln, n är helt enkelt vilket tal som helst (och graden av polynomet), k är en konstant och de andra bokstäverna är konstanta koefficienter för varje potens av x. Så en kubikfunktion har n = 3, och är helt enkelt:
f(x) = ax^3 +bx^2 + cx^1+d
Där i detta fall d är konstanten . Generellt sett, när du måste lösa en kubikekvation, kommer du att presenteras för den i formen:
ax^ 3 +bx^2 + cx^1+d = 0
Varje lösning för x kallas en ”rot” i ekvationen. Kubikekvationer har antingen en reell rot eller tre, även om de kan upprepas, men det finns alltid minst en lösning.
Typen av ekvation definieras av den högsta potensen, så i exemplet ovan skulle det inte vara en kubikekvation om a = 0, eftersom termen med högsta potens skulle vara bx2 och det skulle vara en andragradsekvation. Detta betyder att följande är alla kubikekvationer:
2x^3 + 3x^2 + 6x −9 = 0 \ x ^3 −9x + 1 = 0\ x^3 −15x^2 = 0
Lösning: Använda faktorsatsen och syntetisk division
Det enklaste sättet att lösa en kubikekvation innebär lite gissningar och en algoritmisk typ av process som kallas syntetisk division. Starten är dock i princip densamma som trial and error-metoden för kubiska ekvationslösningar. Försök att räkna ut vad en av rötterna är genom att gissa. Om du har en ekvation där den första koefficienten, a, är lika med 1, så är det lite lättare att gissa en av rötterna, eftersom de alltid är faktorer för den konstanta termen som ovan representeras av d.
Så, tittar på följande ekvation, till exempel: x^3 − 5x^2 − 2x + 24 = 0
Du måste gissa ett av värdena för x, men eftersom a = 1 i det här fallet vet du att oavsett värdet måste det vara en faktor på 24. Den första faktorn är 1, men detta skulle lämna: 1 – 5 – 2 + 24 = 18
Som inte är noll, och −1 skulle lämna: −1 – 5 + 2 + 24 = 20
Vilket återigen inte är noll. Därefter skulle x = 2 ge: 8 – 20 – 4 + 24 = 8
Ännu ett misslyckande. Försöker x = −2 ger: −8 – 20 + 4 + 24 = 0
Detta betyder x = −2 är en rot av kubikekvationen. Detta visar fördelarna och nackdelarna med trial and error-metoden: Du kan få svaret utan mycket eftertanke, men det är tidskrävande (speciellt om du måste gå till högre faktorer innan du hittar en rot). Lyckligtvis, när du har hittat en rot, kan du enkelt lösa resten av ekvationen.
Nyckeln är att införliva faktorsatsen. Detta anger att om x = s är en lösning, då (x – s) är en faktor som kan dras ut ur ekvationen. För denna situation, s = −2, och så (x + 2) är en faktor som vi kan dra ut för att lämna:
(x + 2) (x^2 + ax + b) = 0
Termerna i den andra gruppen av parenteser har formen av en andragradsekvation, så om du hittar lämpliga värden för a och b, kan ekvationen lösas.
Detta kan åstadkommas med syntetisk division. Skriv först ner koefficienterna för den ursprungliga ekvationen på den översta raden i en tabell, med en delningslinje och sedan den kända roten till höger:
Lämna en ledig rad och lägg sedan till en horisontell linje under den. Ta först den första siffran (1 i det här fallet) ner till raden under din horisontella linje
Multiplicera nu nummer som du just har tagit ner med den kända roten. I det här fallet är 1 × −2 = −2, och detta skrivs under nästa nummer i listan, enligt följande:
Lägg sedan till siffrorna i den andra kolumnen och sätt resultatet under den horisontella linjen:
Upprepa nu processen du just har gått igenom med det nya talet under den horisontella linjen: Multiplicera med roten, lägg svaret i det tomma utrymmet i nästa kolumn och lägg sedan till kolumnen för att få ett nytt nummer på den nedre raden. Detta lämnar:
Och gå sedan igenom processen en sista gång.
Det faktum att det sista svaret är noll säger dig det du har en giltig rot, så om detta inte är noll, så har du gjort ett misstag någonstans.
Nu, den nedre raden berättar faktorerna för de tre termerna i den andra uppsättningen parenteser, så du kan skriva:
(x^2 − 7x + 12) = 0
Så:
(x+2)(x^2 − 7x + 12) = 0
Detta är det viktigaste steget i lösningen, och du kan avsluta från denna punkt och framåt på många sätt.
Faktorering av kubiska polynom
När du har tagit bort en faktor kan du hitta en lösning med hjälp av faktorisering. Från steget ovan är detta i princip samma problem som att faktorisera en andragradsekvation, vilket kan vara utmanande i vissa fall. Men för uttrycket:
(x^2 − 7x + 12)
Om du kommer ihåg att de två talen du sätter inom parentes måste adderas för att ge den andra koefficienten (7) och multiplicera för att ge den tredje (12), är det ganska lätt att se att i det här fallet:
(x^2 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)
Du kan multiplicera detta för att kontrollera, om du vill. Känn dig inte avskräckt om du inte kan se faktoriseringen direkt; det kräver lite övning. Detta lämnar den ursprungliga ekvationen som:
(x + 2) (x – 3) (x – 4) = 0
Som du direkt kan se har lösningar på x = −2, 3 och 4 (som alla är faktorer av 24, den ursprungliga konstanten). I teorin kan det också vara möjligt att se hela faktoriseringen från den ursprungliga versionen av ekvationen, men detta är mycket mer utmanande, så det är bättre att hitta en lösning från trial and error och använda metoden ovan innan du försöker hitta en lösning faktorisering.
Om du kämpar för att se faktoriseringen kan du använda andragradsekvationens formel: x={-bpmsqrt{b^2 – 4ac}above{1pt}2a} För att hitta de återstående lösningarna.
Att använda Cubic Formel
Även om det är mycket större och mindre enkelt att hantera, finns det en enkel kubisk ekvationslösare i form av den kubiska formeln. Det här är som den andragradsekvationsformeln genom att du bara matar in dina värden på a, före Kristus och d för att få en lösning, men är bara mycket längre.
Det står att:
x = (q +^{1/2})^{1/3} + (q −^{1/2})^{1/3} + p var p = {−b above{1pt}3a}q = p^3 + {bc− 3ad above{1pt}6a^2}och r = {c above{1pt}3a}
Att använda denna formel är tidskrävande, men om du inte gör det Jag vill inte använda trial and error-metoden för kubiska ekvationslösningar och sedan andragradsformeln, det här fungerar när du går igenom allt.
