Få saker väcker rädsla i den första algebrastudenten som att se exponenter – uttryck som y2 , x3 eller till och med det skrämmande yx – dyker upp i ekvationer. För att lösa ekvationen måste du på något sätt få dessa exponenter att försvinna. Men i själva verket är den processen inte så svår när du väl har lärt dig en rad enkla strategier, varav de flesta har sina rötter i de grundläggande aritmetiska operationerna du har använt i flera år.
Förenkla och kombinera liknande villkor
Ibland, om du har tur, kan du ha exponenttermer i en ekvation som tar bort varandra. Tänk till exempel på följande ekvation:
y + 2x ^2 – 5 = 2(x^2 + 2)
Med en skarpt öga och lite övning kan du upptäcka att exponenttermerna faktiskt tar bort varandra, alltså:
När du förenklar den högra sidan av exempelekvationen kommer du att se att du har identiska exponenttermer på båda sidor om likhetstecknet:
y + 2x^2 – 5 = 2x^2 + 4
Subtrahera 2x 2 från båda sidor av ekvationen. Eftersom du utförde samma operation på båda sidor av ekvationen, har du inte ändrat dess värde. Men du har effektivt tagit bort exponenten, vilket ger dig:
y – 5 = 4
Om så önskas, du kan avsluta med att lösa ekvationen för y genom att lägga till 5 på båda sidor av ekvationen, vilket ger dig:
y = 9
Ofta är problemen inte så enkla, men det är ändå en möjlighet värd att titta upp på.
Sök efter möjligheter att faktorisera
Med tid, övning och massor av matematiklektioner, du kommer att samla formler för att faktorisera vissa typer av polynom. Det är ungefär som att samla verktyg som du förvarar i en verktygslåda tills du behöver dem. Tricket är att lära sig att identifiera vilka polynom som lätt kan faktoriseras. Här är några av de vanligaste formlerna du kan använda, med exempel på hur du använder dem:
Om din ekvationen innehåller två kvadratiska tal med ett minustecken mellan dem – till exempel x2 − 42 – du kan faktorisera dem med formeln a2 − b2 = (a + b)(a − b). Om du tillämpar formeln på exemplet, polynomet x2 − 42 faktorer till (x + 4)(x − 4).
Tricket här är att lära sig känna igen kvadrattal även om de inte är skrivna som exponenter. Till exempel exemplet med x2 − 42 är mer sannolikt att skrivas som x2 − 16.
Om din ekvation innehåller två kubade tal som läggs ihop, kan du faktorisera dem med formeln
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)
Tänk på exemplet med y3 + 23, som du är mer benägna att se skrivna som y3 + 8. När du ersätter y och 2 i formeln för a och b respektive, du har:
(y + 2)(y^2 – 2y + 2^2)
Uppenbarligen är exponenten inte helt borta, men ibland är den här typen av formel ett användbart mellansteg för att bli av med den. Till exempel, genom att sålunda faktorisera täljaren för ett bråk, kan det skapa termer som du sedan kan ta bort med termer från nämnaren.
Om din ekvation innehåller två kubade tal med en subtraherad från den andra kan du faktorisera dem med en formel som är mycket lik den som visas i föregående exempel. Faktum är att minustecknets placering är den enda skillnaden mellan dem, eftersom formeln för skillnaden mellan kuber är:
a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)
Tänk på exemplet med x3 − 53, vilket mer sannolikt skulle skrivas som x3 − 125. Ersätter x för a och 5 för b får du :(x – 5)(x^2 + 5x + 5^2).
Som tidigare, även om detta inte eliminerar exponenten helt, kan det vara ett användbart mellansteg på vägen.
Isolera och applicera en radikal
Om inget av ovanstående trick fungerar och du bara har en term som innehåller en exponent, kan du använda den vanligaste metoden för att ”bli av med” exponenten: Isolera exponenttermen på ena sidan av ekvationen och applicera sedan lämplig radikal på båda sidor av ekvationen. Tänk på exemplet med
z^3 – 25 = 2
Isolera exponenttermen genom att lägga till 25 på båda sidor av ekvationen. Detta ger dig:
z^3 = 27
Indexet för roten du använder – det vill säga det lilla upphöjda numret före det radikala tecknet – bör vara detsamma som exponenten du försöker ta bort. Så eftersom exponenttermen i exemplet är en kub eller tredje potens, måste du använda en kubrot eller tredje rot för att ta bort den. Detta ger dig:
sqrt{z^3} = sqrt{27}
Vilket i sin tur förenklar till: z = 3
