Att lösa ett system med samtidiga ekvationer verkar till en början vara en mycket skrämmande uppgift. Med mer än en okänd kvantitet att hitta värdet för, och uppenbarligen väldigt lite sätt att lösa upp en variabel från en annan, kan det vara en huvudvärk för personer som är nya inom algebra. Det finns dock tre olika metoder för att hitta lösningen på ekvationen, där två beror mer på algebra och är lite mer tillförlitliga, och den andra gör systemet till en serie linjer på en graf.
Lösa ett ekvationssystem genom substitution
Lös ett system av samtidiga ekvationer genom substitution med först uttrycker en variabel i termer av den andra. Med dessa ekvationer som exempel: x – y = 5 \ 3x + 2y = 5
Arrangera om den enklaste ekvationen att arbeta med och använd denna för att infoga i den andra. I det här fallet, om man lägger till y på båda sidor av den första ekvationen ger: x = y + 5
Använd uttrycket för x in den andra ekvationen för att producera en ekvation med en enda variabel. I exemplet gör detta den andra ekvationen: 3 × (y + 5) + 2y = 5 \ 3y + 15 + 2y = 5
Samla in liknande villkor för att få: 5y + 15 = 5
Arrangera om och lös för y, börja med subtrahera 15 från båda sidor: 5y = 5 – 15 = -10
Dividering av båda sidor med 5 ger: y = frac{-10}{5} = -2
Så y = −2.
Infoga detta resultat i endera ekvationen för att lösa den återstående variabeln. I slutet av steg 1 fann du att: x = y + 5
Använd värdet du hittade för y för att få: x = – 2 + 5 = 3
Så x = 3 och y = −2.
Tips
Kolla dina svar
Det är god praxis att alltid
kontrollera att dina svar är vettiga och fungerar med de ursprungliga ekvationerna. I det här exemplet, x – y = 5, och resultatet ger 3 – (−2) = 5, eller 3 + 2 = 5, vilket är korrekt. Den andra ekvationen säger: 3x + 2y = 5, och resultatet ger 3 × 3 + 2 × (−2) = 9 – 4 = 5, vilket återigen är korrekt. Om något inte stämmer överens i detta skede har du gjort ett misstag i din algebra.
Lösa ett ekvationssystem genom eliminering
Titta på dina ekvationer för att hitta en variabel att ta bort:
I exemplet kan du se att en ekvation har -y och den andra har +2y. Om du lägger till två gånger den första ekvationen till den andra, y skulle avbryta och y skulle elimineras. I andra fall (t.ex. om du ville eliminera x), kan också subtrahera en multipel av en ekvation från den andra.
Multiplicera den första ekvationen med två för att förbereda den för elimineringsmetoden: 2 × (x – y) = 2 × 5
Så 2x – 2y = 10
Eliminera din valda variabel genom att lägga till eller subtrahera en ekvation från den andra. I exemplet lägger du till den nya versionen av den första ekvationen till den andra ekvationen för att få: 3x + 2y + (2x – 2y) = 5 + 10 \ 3x + 2x + 2y – 2y = 15
Så detta betyder: 5x = 15
Lös för den återstående variabeln. I exemplet dividerar du båda sidorna med 5 för att få: x = frac{15}{5} = 3
Som förut.
Precis som i det tidigare tillvägagångssättet, när du har en variabel, kan du infoga denna i ettdera uttrycket och ordna om för att hitta den andra. Använd den andra ekvationen: 3x + 2y = 5
Alltså, eftersom x = 3 : 3 × 3 + 2y = 5 \ 9 + 2y = 5
Subtrahera 9 från båda sidor för att få: 2y = 5 – 9 = -4
Dela slutligen med två för att få: y = frac{-4}{2} = -2
Lösa ett ekvationssystem genom att rita grafer
Lös ekvationssystem med minimal algebra genom att rita varje ekvation och leta efter x och y värde där linjerna skär varandra. Konvertera varje ekvation till lutningsskärningsform (y =mx + b) först.
Det första exemplet på ekvationen är: x – y = 5
Detta kan enkelt konverteras. Lägg till y på båda sidorna och subtrahera sedan 5 från båda sidorna för att få: y = x – 5
Som har en lutning på m = 1 och en y-skärning av b = −5.
Den andra ekvationen är: 3x + 2y = 5
Subtrahera 3 x från båda sidor för att få: 2y = -3x + 5
Då dividera med 2 för att få lutningsskärningsformen: y = frac{-3x}{2} + frac {5}{2}
Så detta har en lutning på m = -3/2 och en y-skärning av b = 5/2.
Använd y skärningspunkten värden och lutningarna för att plotta båda linjerna på en graf. Den första ekvationen korsar y-axeln vid y = −5 och y-värdet ökar med 1 varje gång x värde ökar med 1. Detta gör linjen lätt att dra.
Den andra ekvationen korsar y axel vid 5/2 = 2,5. Den lutar nedåt och y-värdet minskar med 1,5 varje gång x-värdet ökar med 1. Du kan beräkna y-värdet för valfri punkt på x axel med ekvationen om det är lättare.
Placera punkten där linjerna skär varandra. Detta ger dig både x och y koordinater för lösningen till ekvationssystemet.
