Att hitta den största gemensamma faktorn, eller GCF, av två tal är användbart i många situationer inom matematik, men särskilt när det gäller att förenkla bråk. Om du kämpar med detta eller hittar gemensamma nämnare, kommer att lära dig två metoder för att hitta gemensamma faktorer hjälpa dig att uppnå det du har för avsikt att göra. Först är det dock en bra idé att lära sig om grunderna för faktorer; sedan kan du titta på två metoder för att hitta gemensamma faktorer. Slutligen kan du titta på hur du använder dina kunskaper för att förenkla en bråkdel.
Vad är en faktor?
Faktorerna är siffror som du multiplicerar tillsammans för att få ett annat tal. Till exempel är 2 och 3 faktorer av 6, eftersom 2 × 3 = 6. På samma sätt är 3 och 3 faktorer av 9, eftersom 3 × 3 = 9. Som du kanske vet är primtal tal som inte har några andra faktorer än sig och 1. Så 3 är ett primtal, eftersom de enda två heltal (heltal) som kan multiplicera tillsammans för att ge 3 som svar är 3 och 1. På samma sätt är 7 ett primtal, och så är 13 .
På grund av detta är det ofta bra att dela upp ett tal i ”primtalsfaktorer”. Detta innebär att hitta alla primtalsfaktorer för ett annat tal. Det bryter i princip ner talet i sina grundläggande ”byggstenar”, vilket är ett användbart steg mot att hitta den största gemensamma faktorn av två tal och är också ovärderlig när det gäller att förenkla kvadratrötter.
Hitta den största gemensamma faktorn: Metod ett
Den enklaste metoden för att hitta den största gemensamma faktorn av två tal är att helt enkelt lista alla faktorer för varje nummer och leta efter det högsta antalet som båda delar. Föreställ dig att du vill hitta den högsta gemensamma faktorn 45 och 60. Titta först på de olika talen du kan multiplicera tillsammans för att få 45.
Det enklaste sättet att börja är med de två du vet kommer att fungera, även för ett primtal. I det här fallet vet vi 1 × 45 = 45, så vi vet att 1 och 45 är faktorer på 45. Dessa är de första och sista faktorerna på 45, så du kan bara fylla i därifrån. Räkna sedan ut om 2 är en faktor. Detta är lätt, eftersom alla jämna tal kommer att vara delbara med 2, och alla udda tal inte. Så vi vet att 2 inte är en faktor på 45. Vad sägs om 3? Du bör kunna upptäcka att 3 är en faktor på 45, eftersom 3 × 15 = 45 (du kan alltid bygga på vad du vet för att räkna ut detta, till exempel vet du att 3 × 12 = 36, och lägga till treor till detta leder dig till 45).
Nästa, är 4 en faktor på 45 ? Nej – du vet 11 × 4 = 44, så det kan inte vara det! Nästa, vad sägs om 5? Detta är ännu en enkel, eftersom alla tal som slutar på 0 eller 5 är delbara med 5. Och med detta kan du enkelt se att 5 × 9 = 45. Men 6 är inte bra eftersom 7 × 6 = 42 och 8 × 6 = 48. Av detta kan du också se att 7 och 8 inte är faktorer av 45. Vi vet redan att 9 är, och det är lätt att se att 10 och 11 inte är faktorer. Fortsätt den här processen så ser du att 15 är en faktor, men inget annat är det.
Så faktorerna för 45 är: 1, 3, 5, 9, 15 och 45.
För 60 går du igenom exakt samma process. Den här gången är talet jämnt (så att du vet att 2 är en faktor) och delbart med 10 (så 5 och 10 är båda faktorer), vilket gör det lite lättare. Efter att ha gått igenom processen igen bör du se att faktorerna 60 är: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60.
En jämförelse av de två listorna visar att 15 är den största gemensamma faktorn av 45 och 60. Denna metod kan vara tidskrävande , men det är enkelt och det kommer alltid att fungera. Du kan också börja med vilken hög gemensam faktor som helst som du kan upptäcka direkt, och sedan helt enkelt leta efter högre faktorer för varje nummer.
Hitta den största gemensamma faktorn: Metod två
Den andra metoden för att hitta GCF för två tal är att använda primtalsfaktorer. Processen med primfaktorisering är lite lättare och mer strukturerad än att hitta varje faktor. Låt oss gå igenom processen för 42 och 63.
The Processen med primtalsfaktorisering innebär i princip att bryta ner talet tills du bara har primtal kvar. Det är bäst att börja med det minsta primtal (två) och arbeta därifrån. Så för 42 är det lätt att se att 2 × 21 = 42. Arbeta sedan från 21: Är 2 en faktor? Nej. Är 3? Ja! 3 × 7 = 21, och 3 och 7 är båda primtal. Det betyder att primfaktorerna för 42 är 2, 3 och 7. Den första ”pausen” använde 2 för att komma till 21, och den andra delade upp detta i 3 och 7. Du kan kontrollera detta genom att multiplicera alla dina faktorer och kontrollera du får det ursprungliga numret: 2 × 3 × 7 = 42.
För 63 är 2 inte en faktor, men 3 är det, eftersom 3 × 21 = 63. Återigen, 21 delas upp i 3 och 7 – båda primtal – så att du känner till primtalsfaktorerna! Kontroll visar att 3 × 3 × 7 = 63, efter behov.
Du hittar den högsta gemensamma faktorn genom att titta på vilka primtalsfaktorer de två talen har gemensamt. I det här fallet har 42 2, 3 och 7, och 63 har 3, 3 och 7. De har 3 och 7 gemensamt. För att hitta den högsta gemensamma faktorn, multiplicera alla de gemensamma primtalsfaktorerna tillsammans. I det här fallet är 3 × 7 = 21, så 21 är den största gemensamma faktorn av 42 och 63.
Det föregående exemplet kan också lösas snabbare på detta sätt. Eftersom 45 är delbart med tre (3 × 15 = 45), och 15 också är delbart med tre (3 × 5 = 15), är primfaktorerna för 45 3, 3 och 5. För 60 är det delbart med två (2) × 30 = 60), 30 är också delbart med två (2 × 15 = 30), och sedan har du kvar 15, som vi vet har tre och fem som primtalsfaktorer, vilket lämnar 2, 2, 3 och 5. Om man jämför de två listorna är tre och fem de vanliga primfaktorerna, så den största gemensamma faktorn är 3 × 5 = 15.
Om det finns tre eller flera gemensamma primtalsfaktorer multiplicerar du dem alla på samma sätt för att hitta den största gemensamma faktorn.
Förenkla bråk med Gemensamma faktorer
Om du presenteras för ett bråk som 32/96, kan det göra alla beräkningar som kommer efter det mycket komplicerade om du inte kan hitta ett sätt att förenkla bråket. Att hitta den lägsta gemensamma faktorn 32 och 96 kommer att berätta talet att dividera båda med, för att få ett enklare bråktal. I det här fallet:
För 96 ger processen:
Det bör vara tydligt att 25 = 32 är den högsta gemensamma faktorn. Att dividera båda delarna av bråket med 32 ger:
Att hitta gemensamma nämnare är en liknande process. Föreställ dig att du var tvungen att lägga till bråken 15/45 och 40/60. Vi vet från det första exemplet att 15 är den högsta gemensamma faktorn 45 och 60, så vi kan omedelbart uttrycka dem som 5/15 och 10/15. Eftersom 3 × 5 = 15, och båda täljarna också är delbara med fem, kan vi dividera båda delarna av båda bråken med fem för att få 1 /3 och 2/3. Nu är de mycket lättare att lägga till och se att
