Allt du behöver veta om Cauchy-distributionen

En fördelning av en slumpvariabel är viktig inte för dess tillämpningar, utan för vad den säger oss om våra definitioner. Cauchy-fördelningen är ett sådant exempel, ibland hänvisad till som ett patologiskt exempel. Anledningen till detta är att även om denna fördelning är väldefinierad och har en koppling till ett fysiskt fenomen, så har fördelningen inte ett medelvärde eller en varians. Denna slumpmässiga variabel har faktiskt inte ett ögonblick genererande funktion

Definition av Cauchy-fördelningen Vi definierar Cauchy-fördelningen genom att betrakta en spinner, som typen i ett brädspel. Mitten av detta spinnaren kommer att förankras på y-axeln vid punkten (0, 1). Efter spinning spinnern, kommer vi att förlänga linjesegmentet av spinner tills den korsar x-axeln. Detta kommer att definieras som vår slumpvariabel X.

Vi låter w beteckna den minsta av de två vinklarna som spinnern gör med y

axel. Vi antar att denna spinner är lika sannolikt att bilda vilken vinkel som helst som en annan, och därför har W en enhetlig fördelning som sträcker sig från -π/2 till π/2.

Grundläggande trigonometri ger oss en koppling mellan våra två slumpvariabler:

X = tanW.

Den kumulativa fördelningsfunktionen för

X härleds enligt följande :

H(x

) = P(X < x

) = P(tan W < x

) =

P(W < arctanX)

W e använd sedan det faktum att W

är enhetlig, och detta ger oss:

H(

x) = 0,5 + (arctan x

)/π

^{För att erhålla sannolikhetstäthetsfunktionen differentierar vi kumulativ densitetsfunktion. Resultatet är h (x) = 1/[π (1 + x2) ]}

Funktioner i Cauchy-distributionen

Vad gör Cauchy Fördelning intressant är att även om vi har definierat det med det fysiska systemet för en slumpmässig spinner, har en slumpvariabel med en Cauchy-fördelning inte en medelvärde, varians eller momentgenererande funktion. Alla moment om ursprunget som används för att definiera dessa parametrar existerar inte.

Vi börjar med att betrakta medelvärdet. Medelvärdet definieras som det förväntade värdet av vår slumpvariabel och så E[X] = ∫-∞

∞

x /[π (1 + x²) ] dx

.

Vi integrerar genom att använda substitution. Om vi ​​ställer in u

= 1 +

x² då ser vi att du

= 2x dx. Efter att ha gjort substitutionen konvergerar inte den resulterande felaktiga integralen. Det betyder att det förväntade värdet inte existerar och att medelvärdet är odefinierat.

På liknande sätt är variansen och momentgenererande funktionen odefinierad.

Namngivning av Cauchy-distributionen

Cauchy-fördelningen är uppkallad efter den franske matematikern Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857). Trots att denna distribution är uppkallad efter Cauchy publicerades information om distributionen först av Poisson.