De associativa och kommutativa egenskaperna

Det finns flera matematiska egenskaper som används i statistik och sannolikhet; två av dessa, de kommutativa och associativa egenskaperna, är i allmänhet associerade med den grundläggande aritmetiken för heltal, rationaler , och reella tal, även om de också dyker upp i mer avancerad matematik.

Dessa egenskaper – den kommutativa och den associativa – är väldigt lika och kan lätt blandas ihop. Av den anledningen , det är viktigt att förstå skillnaden mellan de två.

Den kommutativa egenskapen avser ordningen för vissa matematiska operationer. För en binär operation – en som bara involverar två element – kan visas med ekvationen a + b = b + a. Operationen är kommutativ eftersom ordningen på elementen inte påverkar resultatet av operationen.Den associativa egenskapen å andra sidan gäller th e gruppering av element i en operation. Detta kan visas med ekvationen (a + b) + c = a + (b + c). Grupperingen av elementen, som indikeras av parentes, påverkar inte resultatet av ekvationen. Observera att när den kommutativa egenskapen används, omarrangeras element i en ekvation . När den associativa egenskapen används, omgrupperas element bara .

Kommutativ egendom

Enkelt uttryckt, den kommutativa egenskapen anger att faktorerna i en ekvation kan omordnas fritt utan att påverka ekvationens utfall. Den kommutativa egenskapen handlar därför om ordningen av operationer, inklusive addition och multiplikation av reella tal, heltal och rationella tal.

Till exempel kan siffrorna 2, 3 och 5 läggas ihop i valfri ordning utan att det påverkar slutresultatet:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Siffrorna kan likaså multipliceras i valfri ordning utan att det påverkar slutresultatet:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

Subtraktion och division, dock, är inte operationer som kan vara kommutativa eftersom operationsordningen är viktig. De tre siffrorna ovan kan till exempel inte subtraheras i valfri ordning utan att det slutgiltiga värdet påverkas:

2 – 3 – 5 = -6

3 – 5 – 2 = -4

5 – 3 – 2 = 0

Som ett resultat kan den kommutativa egenskapen uttryckas genom ekvationerna a + b = b + a och axb = bx a. Oavsett ordningen på värdena i dessa ekvationer, kommer resultaten alltid att vara desamma.

Associativ egenskap

Den associativa egenskapen anger att grupperingen av faktorer i en operation kan ändras utan att det påverkar utfallet av ekvationen. Detta kan uttryckas genom ekvationen a + (b + c) = (a + b) + c. Oavsett vilket värdepar i ekvationen som adderas först, blir resultatet detsamma.

Ta till exempel ekvationen 2 + 3 + 5. Oavsett hur värdena grupperas blir resultatet av ekvationen 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Som med den kommutativa egenskapen, exempel på operationer som är associativa inkluderar addition och multiplikation av reella tal, heltal och rationella tal. Men till skillnad från den kommutativa egenskapen kan den associativa egenskapen även gälla matrismultiplikation och funktionssammansättning.

Som kommutativa egenskapsekvationer, associativa egenskapsekvationer kan inte innehålla subtraktion av reella tal. Ta till exempel räkneproblemet (6 – 3) – 2 = 3 – 2 = 1; om vi ändrar grupperingen av parenteserna har vi 6 – (3 – 2) = 6 – 1 = 5, vilket ändrar ekvationens slutresultat.

Vad är skillnaden?

Vi kan se skillnaden mellan den associativa och den kommutativa egenskapen genom att ställa frågan: ”Ändrar vi ordningen på elementen, eller ändrar vi grupperingen av element?” Om elementen ordnas om, gäller den kommutativa egenskapen. Om elementen bara omgrupperas, gäller den associativa egenskapen.

Observera dock att Enbart förekomst av parenteser betyder inte nödvändigtvis att den associativa egenskapen gäller. Till exempel:

( 2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)