Du kan stöta på situationer där du har en tredimensionell solid form och behöver räkna ut arean av ett imaginärt plan infört genom formen och som har gränser definierade av gränserna för den solida delen.
Om du till exempel hade ett cylindriskt rör som löper under ditt hem som mäter 20 meter (m) i längd och 0,15 m tvärs över, kanske du vill veta rörets tvärsnittsarea.
Tvärsnitt kan vara vinkelräta mot orienteringen av axlarna för det fasta ämnet om det finns några. När det gäller en sfär kommer varje skärplan genom sfären oavsett orientering att resultera i en skiva av någon storlek.
Tvärsnittets area beror på formen på den solida delen som bestämmer tvärsnittets gränser och vinkeln mellan solidens symmetriaxel (om sådan finns) och planet som skapar tvärsnittet.
Tvärsnittsarea av ett rektangulärt fast ämne
Volymen av ett rektangulärt fast ämne, inklusive en kub, är arean av dess bas (längd gånger bredd) multiplicerat med dess höjd: V = l × w × h.
Därför, om ett tvärsnitt är parallellt med toppen eller botten av den fasta delen, arean av tvärsnittet är l × w. Om skärplanet är parallellt med en av de två uppsättningarna sidorna, ges tvärsnittsarean istället av l × h eller w × h.
Om tvärsnittet inte är vinkelrät mot någon symmetriaxel, kan formen som skapas vara en triangel (om den placeras genom ett hörn av den fasta delen) eller till och med en hexagon.
Exempel: Beräkna tvärsnittsarean för ett plan vinkelrätt mot basen av en kub med volymen 27 m3.
Eftersom l = w = h för en kub måste varje kant på kuben vara 3 m lång (eftersom 3× 3× 3 = 27). Ett tvärsnitt av den beskrivna typen skulle därför vara en kvadrat 3 m på en sida, vilket ger en area på 9 m2.
Tvärsnittsarea av en cylinder
En cylinder är ett fast ämne som skapas genom att förlänga en cirkel genom rymden vinkelrätt mot dess diameter. Arean av en cirkel ges av formeln πr2, där r är radien. Det är därför logiskt att volymen av en cylinder skulle vara arean av en av cirklarna som bildar dess bas.
Om tvärsnittet är parallellt med symmetriaxeln, är tvärsnittets area helt enkelt en cirkel med arean πr2. Om skärplanet sätts in i en annan vinkel är formen som genereras en ellips. Området använder motsvarande formel: πab (där a är det längsta avståndet från mitten av ellipsen till kanten, och b är det kortaste).
Exempel: Vad beskrivs tvärsnittsarean på röret under ditt hem i inledningen?
Detta är bara πr2 = π(0,15 m)2=π(0,0225) m2= 0,071 m2. Observera att rörets längd är irrelevant för denna beräkning.
Tvärsnittsarea av en sfär
Varje teoretiskt plan som helst som placeras genom en sfär kommer att resultera i en cirkel (tänk på detta ett par ögonblick). Om du vet antingen diametern eller omkretsen av cirkeln som tvärsnittet bildar, kan du använda sambanden C = 2πr och A = πr2 för att få en lösning.
Exempel: Ett plan förs oförskämt in genom jorden mycket nära nordpolen, vilket tar bort en del av planeten 10 m runt. Vilken är tvärsnittsarean för denna jordbit?
Eftersom C = 2πr = 10 m, r = 10/2π = 1,59 m; A = πr2= π( 1,59)2= 7,96 m2.
