Ett prisma kan vara ett elegant dekorativt föremål, ett verktyg i fysik eller bara en lockande geometrisk konstruktion som också råkar vara användbar. Det mänskliga ögat och sinnet har en yen för symmetri i konst och i naturen, och de finner attraktionskraft i tredimensionella former som är regelbundna, mångfacetterade och transmitterar såväl som reflekterar ljus.
Föremål med en ) många sidor – till exempel en dodekaeder, som har 12 identiska femsidiga ytor som utgör dess yta – är roliga att titta på, men den matematik som ligger bakom deras geometri kan i bästa fall vara tröttsam.
Ett femsidigt (det vill säga femkantigt) prisma är en användbar utgångspunkt för elever som försöker lära sig att beräkna volymen av regelbundna polyeder,, av vilka prismor är en av många vanliga typer och ett oändligt antal teoretiska typer.
The World of Polyhedra
”Polyhedra” låter kanske som ett monster från den grekiska mytologins värld. Faktum är att den ”grekiska” delen av det är korrekt: Ordet polyhedra (singular polyhedron) betyder ”många baser ,” och i matematikens värld finns det mycket du kan göra med dessa baser givet deras dimensioner och vinklar.
En polyeder är vilken tredimensionell fast substans som helst som består av plana ytor. Ansiktet på vilket en polyeder avbildas ”vilande” är dess bas, som kan vara identisk med alla, några eller inga av de andra ansiktena. Det enklaste exemplet är en pyramid, som har fyra triangulära ytor. En kub har sex identiska ytor och är ett specialfall av en kuboid, vilket är vilken sexsidig figur som helst som består av räta vinklar.
Ett prisma är en polyeder som kunde ha skapats genom att ”skjuta” en polygon, eller tvådimensionell figur med tre eller flera vinklar, i en rät linje genom rymden för att bilda två ändar och förbinda dem med så många parallella plan som prismat har sidor. Det enklaste prismat består av två liksidiga trianglar med sina ytor parallella med varandra och åtskilda av tre identiska rektangulära ytor som är orienterade i 60 graders vinklar mot deras närliggande ytor.
Ett pentagonalt prisma samma sak utökats till att omfatta ytterligare två vinklar och ytterligare två ansikten. Den innehåller alltså två femkantiga baser och fem rektangulära sidor. Det är därför en heptaeder, eftersom den har sju sidor (hepta– är ett Grrek-prefix som betyder ”sju”).
Area of a Pentagon
Arean av en vanlig polygon (det vill säga en där alla vinklar och sidor är identiska) med sidlängd s kan hittas från formeln:
A = (n)(s2)/
För en femhörning (n = 5), detta reduceras till:
A = 5s
2/2,91 = 1,72s
2
Area of a Pentagonal Prism
Om du skulle ”vika ut” eller ”platta ut” ett femkantigt prisma av kartong, skulle du stå kvar med två identiska femkantsytor (prismats baser) och fem identiska rektangulära ytor.
Två sidor av varje rektangel delas med sidorna av femhörningarna; kalla denna längd s. Om du kallar etikett för de andra två sidorna (som kan vara så korta eller långa som du vill, åtminstone i teorin) h, så är arean av varje rektangulär sida sh, och arean för alla sidorna tillsammans är 5sh.
Det finns två femkantiga ansikten, alltså den totala arean av ett femkantigt prisma är:
A = 5(sh) + 2(1,72s 2) = 5(sh) + 3,44s2
För alla standardprisma är volymen bara arean av basen gånger höjden. Det betyder att multiplicera 1,72s2, värdet för arean av en femhörning från föregående ekvation, med höjden h i vilka enheter du än använder. Volymformeln är:
V = 1,72s2h
Till exempel, om du har ett stort femkantigt prisma med en höjd av 30 cm (0,3 m) och sidor på 10 cm (0,1 m), området är:
A = 5(sh) + 2(1,72s2) = 5(0,3 m)(0,1 m) + 2( 1,72)(0,1 m)
2 = 0,15 + 0,0344 = 0,1844 m
2
Volymen ges av:
V = (1,72)(0,1 m)2(0,3 m) = 0,00516 = 5,16 × 10-3
m3
