Matematiker, fysiker och ingenjörer har många termer för att beskriva matematiska samband. Det finns vanligtvis en viss logik i de valda namnen, även om detta inte alltid är uppenbart om du inte är medveten om matematiken bakom det. När du väl förstår begreppet inblandat blir kopplingen till de valda orden uppenbar.
Dessa proportionella och linjära samband är två mått som kan hjälpa till att beskriva en konstant förändringshastighet (som i ett klassiskt koordinatplan beskriver en linjes lutning).
TL;DR (För lång; Läste inte)
Släktskapet mellan variabler kan vara linjärt, icke- linjär, proportionell eller icke-proportionell. Ett proportionellt samband är ett speciellt slags linjärt samband, men medan alla proportionella samband är linjära samband är inte alla linjära samband proportionella.
Proportionella relationer
Om förhållandet mellan x och y är proportionella betyder det att som x ändringar, y ändras med samma procent. Därför, om x växer med 10 procent av x, sedan y växer med 10 procent av y. För att uttrycka det algebraiskt: y = mx där m är en konstant. Detta är en proportionell ekvation där proportionalitetskonstanten (m vid varje enskild punkt )) kan hittas med hjälp av ekvationen y ovan för att lösa för m.
En annan viktig skillnad mellan proportionaliteter är relationer som är direkt proportionella jämfört med relationer som är omvänt proportionella.
Direkt proportionella samband uppstår med ovannämnda situation där ingångarna ändras (ökande/minskande) resulterar i samma svar från utgången (dvs om x ökar, y ökar).
Omvänt proportionella relationer är motsatsen, där utgången motverkar alla ändringar från ingången (dvs om <ökar, y minskar. En allmän formel är nedan:
y = frac{m}{x} newline{} \ text{ detta motsvarar att höja x till -1-exponenten} \ newline{} \ y = mx^{-1}
Icke-proportionella operationer
Tänk på en icke-proportionell situation. Barn ser annorlunda ut än vuxna, även på fotografier där det inte finns något sätt att säga exakt hur långa de är, eftersom deras proportioner är olika. Barn har kortare lemmar och större huvuden jämfört med sina kroppar än vad vuxna har. Barns drag växer därför i oproportionerlig takt när de blir vuxna.
Dricks
Om en situation inte är proportionell kan den eventuellt vara icke-linjär. Detta är dock inte nödvändigtvis sant omvänt; ett samband kan vara linjärt men icke-proportionellt beroende på y-värdet vid x = 0.
Linjärt förhållande
Matematiker älskar att rita grafiska funktioner. En linjär funktion är mycket lätt att rita, eftersom det är en rak linje. Uttryckt algebraiskt tar linjära funktioner formen y = f(x); en funktion med inmatningen x:
varm är linjens lutning och b är punkten där linjen korsar y-axeln, känd som y-skärningspunkten. Det är viktigt att notera att m eller b eller båda konstanterna kan vara noll eller negativ. Om m är noll, är funktionen helt enkelt en horisontell linje på avstånd av b från x axel. Med en linjär graf kan du nästan omedelbart se om funktionen är proportionell eller strikt linjär (tänk på att jämföra grafen för y = x med grafen för y = x + 1. Även om lutningsskärningsformen är väldigt lika, skulle det finnas en synlig och signifikant skillnad mellan en tabell med värden för varje ekvation och den direkta variationen mellan dem.
Linjära kontra proportionella relationer
Proportionella och linjära funktioner är nästan identiska i form. Den enda skillnaden är tillägget av b
konstant till den linjära funktionen. Ett proportionellt samband är faktiskt bara ett linjärt samband där b = 0, eller för att uttrycka det på ett annat sätt, där linjen går genom origo (0, 0). Så ett proportionellt samband är bara en speciell sorts linjär relation, dvs alla proportionella relationer är linjära relationer (även om inte alla linjära relationer är proportionella).
När b ≠ 0, så beskrivs det som ett icke-proportionellt linjärt samband. Det betyder att det finns en linjär relation mellan den oberoende variabeln och den beroende variabeln, men den är inte nödvändigtvis förankrad vid origo. Även om variablerna kan öka med ett konstant förhållande börjar den linjära ekvationen inte nödvändigtvis vid värdet 0.
Exempel på proportionella och linjära relationer
En enkel illustration av ett proportionellt förhållande är hur mycket pengar du tjänar till en fast timlön på 10 USD i timmen. Vid noll timmar har du tjänat noll dollar, vid två timmar har du tjänat $20 och vid fem timmar har du tjänat $50. Relationen är linjär eftersom du får en rät linje om du ritar den, och proportionell eftersom noll timmar är lika med noll dollar.
Jämför detta med ett linjärt men icke-proportionellt samband. Till exempel summan pengar du tjänar på $10 i timmen utöver en $100 signeringsbonus. Innan du börjar arbeta (det vill säga vid noll timmar) har du $100. Efter en timme har du $110, vid två timmar $120 och vid fem timmar $150. Relationen visas fortfarande som en rät linje (gör den linjär) men är inte proportionell eftersom en fördubbling av tiden du arbetar inte fördubblar dina pengar.
