Ordet ”samterminal” är något förvirrande, men allt det är menat att beteckna är vinklar som slutar vid samma punkt. Om du är förvirrad kommer du inte att vara det när du inser att, för att hitta en vinkel som är koterminal till en given vinkel som har sitt ursprung på 0-punkten på en xy-axel, lägger du helt enkelt till eller subtraherar multiplar av 360 grader. Om du mäter vinklar i radianer får du koterminala vinklar genom att addera eller subtrahera multiplar av 2π.
Det finns ett oändligt antal koterminala vinklar
I trigonometri ritar man en vinkel i standardposition genom att rita en linje från origo för ett koordinatplan till en termineringspunkt. Vinkeln mäts mellan den positiva x-axeln och linjen du ritade, känd som terminalsidan av vinkeln. Vinkeln är positiv om du mäter avståndet moturs till linjen och negativ om du rör dig medurs från den initiala sidan. I det här scenariot betecknar origo även vinkelns spets.
En linje parallell med x-axeln och sträcker sig i positiv riktning har en vinkel på 0 grader, men du kan också beteckna den vinkeln som 360 grader. Följaktligen är 0 grader och 360 grader koterminala vinklar. Det är också möjligt att mäta samma vinkel i negativ riktning, vilket gör det -360 grader. Detta är en annan vinkel coterminal med 0 grader.
Det finns inget som hindrar dig från att göra två hela rotationer i antingen moturs eller medurs riktning för att bildar vinklar på 720 och -720 grader, som också är koterminala vinklar. Faktum är att du kan göra hur många rotationer du vill åt båda hållen, vilket betyder att en 0-graders vinkel har ett oändligt antal koterminala vinklar. Detta gäller för alla vinklar. På detta sätt kan vi lösa valfritt antal positiva koterminala vinklar eller negativa koterminala vinklar.
Grader eller radianer
Om du har en given vinkel, säg 35 grader, kan du hitta vinklarna samterminal med den genom att addera eller subtrahera multiplar av 360 grader. Detta beror på att graden är definierad på ett sådant sätt att en cirkel innehåller 360 av dem.
En radian definieras som den vinkel som bildas av en linje som ritar en båglängd på omkretsen av en cirkel lika med cirkelns radie. Om linjen skriver ut hela cirkelns omkrets är vinkeln den bildar, i radianer, 2π. Följaktligen, om du mäter en vinkel i radianer, är allt du behöver göra för att hitta vinklar coterminal till den att addera eller subtrahera multiplar av 2π.
Varför är koterminala vinklar viktiga?
Vinklar är otroligt användbara inom många matematikområden, från gymnasiealgebra och precalculus till imaginära tal och vågfunktioner; vinkelmått finns överallt.
När man tittar på de koterminala vinklarna för en given vinkel kan vi alltid säga att värdet på sinus, cosinus, tangens och de andra trigonometriska funktionerna är ekvivalenta. Detta kan demonstreras geometriskt om vi tittar på enhetscirkeln där värdena för dessa trigfunktioner definieras av deras placering runt hela cirkeln. Eftersom samterminala vinklar alltid kommer att sluta på samma plats, kommer de alltid att dela samma värden.
Exempel
Hitta två vinklar samterminal med 35 grader.
Lägg till 360 grader för att få 395 grader och subtrahera 360 grader för att få -325 grader. På motsvarande sätt kan du lägga till 360 grader för att få 395 grader och lägga till 720 grader för att få 755 grader. Du kan också subtrahera 360 grader för att få -325 grader och subtrahera 720 grader för att få -685 grader.
Hitta den minsta positiva vinkeln, in grader, samterminal med -15 radianer.
Lägg till multiplar av 2π tills du får en positiv vinkel. Eftersom 2π = 6,28 måste vi multiplicera med 3 för att få en positiv vinkel:
Eftersom 2π radianer = 360 grader, 1 radian = 57,32 grader. Därför är 3,84 radianer:
Andra typer av vinkelrelationerDet finns andra användbara vinkelrelationer som beskriver en vinkel θ.
En referensvinkel beskriver en spetsig vinkel som hittar den minsta vinkeln jämfört med x-axeln. Komplementära vinklar och kompletterande vinklar är par av vinklar som adderas till 90 grader respektive 180 grader.
