Om du bad någon att namnge hans eller hennes matematiska favoritkonstant, skulle du förmodligen få några frågvisa blickar. Efter ett tag kan någon frivilligt säga att den bästa konstanten är pi. Men detta är inte den enda viktiga matematiska konstanten. En nära andra, om inte utmanare om kronan på den mest allmänt förekommande konstanten, är e. Detta nummer visas i kalkyl, talteori, sannolikhet och statistik. Vi kommer att undersöka några av funktionerna i detta anmärkningsvärda tal och se vilka samband det har med statistik och sannolikhet.
Värdet av e
Liksom pi är e ett irrationellt reellt tal. Det betyder att det inte kan skrivas som ett bråk och att dess decimalexpansion fortsätter för evigt utan repeterande block med nummer som kontinuerligt upprepas umber e är också transcendentalt, vilket betyder att det inte är roten till ett polynom som inte är noll med rationella koefficienter. De första femtio decimalerna av ges av e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definition av e
Antalet e upptäcktes av personer som var nyfikna på sammansatt ränta. I denna ränteform räntar kapitalbeloppet och sedan räntar den genererade räntan på sig själv. Det observerades att ju högre frekvens av sammansättningsperioder per år, desto högre genererade ränta. Till exempel kan vi titta på ränta som sammansatts:
- Årligen, eller en gång om året
- Halvårsvis eller två gånger om året
- Månatlig eller 12 gånger om året
- Dagligen eller 365 gånger om året
Det totala räntebeloppet ökar för var och en av dessa fall.
En fråga uppstod om hur mycket pengar man eventuellt skulle kunna tjäna i ränta. För att försöka tjäna ännu mer pengar kunde vi i teorin öka antalet sammansättningsperioder till ett så högt antal som vi ville. Slutresultatet av denna ökning är att vi överväger att räntan ökar kontinuerligt.
Medan det genererade intresset ökar, gör det det väldigt långsamt. Den totala summan pengar på kontot stabiliseras faktiskt, och värdet som detta stabiliseras till är e. För att uttrycka detta med en matematisk formel säger vi att gränsen som n ökar med (1+1/n)n = e.
Användning av e
- Siffran e dyker upp genom hela matematiken. Här är några av platserna där den dyker upp:
- Det är basen för den naturliga logaritmen. Sedan Napier uppfann logaritmer, kallas e ibland som Napiers konstant.
- I kalkyl, exponentialfunktionen e
x
har den unika egenskapen att vara sin egen derivata. - Uttryck som involverar ex
och e-x kombineras för att bilda funktionerna hyperbolisk sinus och hyperbolisk cosinus. - Tack till Eulers arbete vet vi att matematikens grundläggande konstanter är relaterade till formeln e
iΠ
+1=0, där i är det imaginära talet som är kvadratroten ur negativ ett. - nummer e dyker upp i olika formler genomgående i matematiken, särskilt inom talteorin.
- Värdet e i statistik
- Vikten av siffran e är inte begränsad till bara några få områden inom matematiken. Det finns också flera användningsområden för talet e i statistik och sannolikhet. Några av dessa är följande:
Siffran e förekommer i formeln för gammafunktionen.
- Formlerna för standardnormalfördelningen innebär e till negativt kraft. Denna formel inkluderar också pi.
- Många andra distributioner involverar användningen av talet e. Till exempel innehåller formlerna för t-fördelningen, gammafördelningen och chi-kvadratfördelningen alla talet e.
