I geometrin är en oktagon en polygon med åtta sidor. En vanlig oktagon har åtta lika sidor och lika vinklar. Den vanliga oktagonen känns ofta igen från stoppskyltar. En oktaeder är en åttasidig polyeder. En vanlig oktaeder har åtta trianglar med lika långa kanter. Det är faktiskt två fyrkantiga pyramider som möts vid deras baser.
Oktagonområde Formel
Formeln för arean av en vanlig oktagon med sidor av längden ”a” är 2(1+sqrt( 2))a^2, där ”sqrt” anger kvadratroten.
Herledning
En oktagon kan ses som fyra rektanglar, en kvadrat i mitten och fyra likbenta trianglar i hörnen.
Kvadraten har area a^2.
Trianglarna har sidorna a, a/sqrt(2) och a/sqrt(2), enligt Pythagoras sats. Därför har var och en en area på a^2/4.
rektanglar har arean a a/sqrt(2).
Summan av dessa 9 områden är 2a^2 (1 + sqrt(2)).
Formeln för volymen av en vanlig oktaeder av sidorna ”a” är a^3 sqrt(2)/3.
Herledning
Arean av en fyrsidig pyramid är arean av basen höjden / 3 Arean av en vanlig oktagon är därför 2 bas höjd / 3.
Bas = a^2 trivialt.
Välj två intilliggande hörn, säg ”F” och ”C.” ”O” står i mitten. FOC är en likbent rätvinklig triangel med basen ”a”, så OC och OF har längden a/sqrt(2) enligt Pythagoras sats. Så höjd = a/sqrt(2).
Så volymen för en vanlig oktaeder är 2 (a^2) a/sqrt(2) / 3 = a^3 sqrt(2) / 3.
Ytarea
Den regelbundna oktaederns yta är arean av en liksidig triangel på sidan ”a” gånger 8 sidor.
Att använda Pythagoras sats, släpp en linje från spetsen till basen. Detta skapar två räta trianglar, med hypotenusan av längden ”a” och en sidlängd ”a/2.” Därför måste den tredje sidan vara sqrt = sqrt(3)a/2. Så arean av en liksidig triangel är höjd bas/2 = sqrt(3)a/2 a/2 = sqrt(3)a^2/4.
Med 8 sidor är ytan på en vanlig oktaeder 2 sqrt (3) a^2.
