Exponentiella funktioner berättar historien om explosiva förändringar. De två typerna av exponentiella funktioner är exponentiell tillväxt och exponentiell avklingning. Fyra variabler (procentuell förändring, tid, mängden vid början av tidsperioden och mängden i slutet av tidsperioden) spelar roller i exponentiella funktioner. Använd en exponentiell avklingningsfunktion för att hitta mängden i början av tidsperioden.
Exponentiellt förfall
Exponentiellt förfall är förändringen som sker när ett ursprungligt belopp reduceras med en konsekvent takt över en tidsperiod
Här är en exponentiell avklingningsfunktion:
y = a(1-b)x
y: Slutligt belopp som återstår efter förfallet under en tidsperiod a: Det ursprungliga beloppet
x: Tid
Förfallsfaktorn är (1-b) Variabeln b är procentandelen av minskningen i decimalform.
Syftet med att hitta originalet Belopp
Om du läser den här artikeln , då är du förmodligen ambitiös. Om sex år kanske du vill ta en grundexamen vid Dream University. Med en prislapp på 120 000 $ framkallar Dream University finansiell nattskräck. Efter sömnlösa nätter träffar du, mamma och pappa en finansiell planerare. Dina föräldrars blodsprängda ögon klarnar när planeraren avslöjar att en investering med en tillväxt på åtta procent kan hjälpa din familj att nå målet på $120 000. Studera hårt. Om du och dina föräldrar investerar $75 620,36 idag, kommer Dream University att bli er verklighet tack vare exponentiellt förfall.
Hur man löser
Denna funktion beskriver den exponentiella tillväxten av investeringen:
120 000 = a(1 +.08)6
120 000: Slutligt belopp som återstår efter 6 år
.08: Årlig tillväxttakt 6: Antalet år för investeringen att växa a: Det ursprungliga beloppet som din familj investerade Tack vare den symmetriska egenskapen jämlikhet, 120 000 = a(1 +.08)6 är samma som a(1 +.08)6 = 120 000. Symmetrisk egenskap för likhet säger att om 10 + 5 = 15, så är 15 = 10 + 5.
Om du föredrar att skriva om ekvationen med konstanten (120 000) till höger om ekvationen, gör det.
a(1 +.08)6
= 120 000
Visst, ekvationen ser inte ut som en linjär ekvation (6a = $120 000), men det är lösbart. Hålla fast vid det!
a(1 +.08)6 = 120 000
Lös inte denna exponentiella ekvation genom att dividera 120 000 med 6. Det är en frestande matematik no-no.
1. Använd operationsordning för att förenkla
a(1 +.08)6 = 120 000
a(1,08)6
= 120 000 (parentes)
a (1,586874323) = 120 000 (exponent)
2. Lös genom att dividera
a(1,586874323) = 120 000
a(1,586874323) / (1,586874323) = 120 000 / (1,586874323)
1a = 75 620,35523a = 75 620,35523
Det ursprungliga beloppet att investera är cirka 75 620,36 USD.
3. Frys: Du är inte klar ännu; använd ordningsföljd för att kontrollera ditt svar
120 000 = a(1 +.08)6
120 000 = 75 620,35523(1 +.08)6
120 000 = 75 620,35523(1,08)6 (parentes)
120 000 = 75 620,35523(1,586874323) (Exponent)
120 000 = 120 000 (Multiplikation)Svar och förklaringar till frågorna
Woodforest, Texas, en förort till Houston, är fast besluten att stänga den digitala klyftan i samhället. För några år sedan upptäckte samhällsledare att deras medborgare var datoranalfabeter. De hade inte tillgång till internet och stängdes av från informationsmotorvägen. Ledarna etablerade World Wide Web on Wheels, en uppsättning mobila datorstationer.
World Wide Web on Wheels har uppnått sitt mål om endast 100 datoranalfabeter i Woodforest. Samhällsledare studerade de månatliga framstegen för World Wide Web on Wheels. Enligt uppgifterna kan nedgången av datoranalfabeter beskrivas med följande funktion:
100 = a(1 – .12)10
1. Hur många människor är datoranalfabeter 10 månader efter starten av World Wide Web on Wheels?
- 100 personer
Jämför denna funktion med den ursprungliga exponentiella tillväxtfunktionen:
100 = a(1 – .12)10
y = a(1 + b)x
Variabeln y representerar antalet datoranalfabeter vid slutet av 10 månader, så 100 personer är fortfarande datoranalfabeter efter att World Wide Web on Wheels började arbeta i samhället.
2. Representerar den här funktionen exponentiellt förfall eller exponentiell tillväxt?
- Denna funktion representerar exponentiellt sönderfall eftersom ett negativt tecken sitter framför den procentuella förändringen (.12) .
3 Vad är den månatliga förändringstakten?
- 12 procent
4. Hur många personer var datoranalfabeter för 10 månader sedan, vid starten av World Wide Web on Wheels?
- 359 personer
Använd operationsordning för att förenkla.
100 = a(1 – .12)10
100 = a(.88)10 (parentes)
100 = a(.278500976) (Exponent)
Dela för att lösa.
100(.278500976) = a(.278500976) / (.278500976)
359,0651689 = 1a
359,0651689 = a
Använd ordningen på åtgärder för att kontrollera ditt svar.
100 = 359,0651689(1 – .12)10
100 = 359,0651689(.88)10 (parentes)
100 = 359,0651689(.278500976) (Exponent)
100 = 100 (Multiplicera)
5. Om dessa trender fortsätter, hur många kommer att vara datoranalfabeter 15 månader efter uppkomsten av World Wide Web on Wheels?
52 människor Lägg till vad du vet om funktionen.
y = 359,0651689(1 – .12) x
y = 359,0651689(1 – .12) 15
Använd Order of Operations för att hitta y.
y = 359,0651689(.88)15
(parentes)
y = 359,0651689 (.146973854) (Exponent)
y = 52,77319167 ( Multiplicera).
