Hur man använder den kvadratiska formeln

En andragradsekvation är en som innehåller en enda variabel och där variabeln är kvadratisk. Standardformen för den här typen av ekvationer, som alltid ger en parabel när den ritas, är ax² + bx + c = 0, där a, b och c är konstanter. Att hitta lösningar är inte lika enkelt som det är för en linjär ekvation, och en del av anledningen är att det, på grund av den kvadratiska termen, alltid finns två lösningar. Du kan använda en av tre metoder för att lösa en andragradsekvation. Du kan faktorisera termerna, vilket fungerar bäst med enklare ekvationer, eller så kan du fylla i kvadraten. Den tredje metoden är att använda andragradsformeln, som är en generaliserad lösning på varje andragradsekvation.

Den kvadratiska formeln

För en allmän kvadratisk ekvation av formen ax² + bx + c = 0, lösningarna ges av denna formel:

x = frac{−b ±sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}

Observera att tecknet \pm innanför parentesen betyder att det alltid finns två lösningar. En av lösningarna använder

frac{−b +sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}

och den andra lösningen använder

frac{−b -sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}

Använda den kvadratiska formeln

Innan du kan använda den kvadratiska formeln måste du se till att ekvationen är i standardform. Det kanske inte är det. Vissa x² termer kan finnas på båda sidor av ekvationen, så du måste samla dem på den rätta sidan. Gör samma sak med alla x termer och konstanter.

Exempel: Hitta lösningarna till ekvationen

3x^2 - 12 = 2x(x -1)

Utöka parenteserna:

3x^2 - 12 = 2x^2 - 2x

Subtrahera 2x² och från båda sidor. Lägg till 2x på båda sidor

3x^2 – 2x^2 + 2x – 12 = 2x^2 -2x^2 -2x + 2x \ 3x^2 – 2x^2 + 2x – 12 = 0 \ x^2 – 2x -12 = 0

Denna ekvation finns i standardformulär ax² + bx + c = 0 där a = 1, b = −2 och c = 12

Den kvadratiska formeln är

x = frac{−b ±sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}

Eftersom a = 1, b = −2 och c = −12, detta blir

x = frac{−(-2) ±sqrt{(-2)^2 − 4×1×(-12)} }{2×1 }

x = frac{2 ±sqrt{(4+ 48} }{2} \ ,\ x = frac{2 ±sqrt{52} }{2} \ ,\ x = frac{2 ±7.21 }{2} \ ,\ x = frac{9.21} {2} text{ och } x = frac{−5,21}{2} \ ,\ x = 4,605 ​​text{ och } x = −2,605

Två andra sätt att lösa kvadratiska ekvationer

Du kan lösa kvadratisk ekvationer genom faktorisering. För att göra detta gissar du mer eller mindre på ett par tal som, när de läggs ihop, ger konstanten b och, när de multipliceras tillsammans, ger konstanten c. Denna metod kan vara svår när fraktioner är inblandade. och skulle inte fungera bra för exemplet ovan.

Den andra metoden är att fylla i kvadraten. Om du har en ekvation är standardform, ax² + bx + c = 0, lägg c på höger sida och lägg till termen (b/2)²

till båda sidor. Detta låter dig uttrycka vänster sida som (x + d)², där d är en konstant. Du kan sedan ta kvadratroten från båda sidorna och lösa för x. Återigen, ekvationen i exemplet ovan är lättare att lösa med den kvadratiska formeln.