I matematik är en funktion en regel som relaterar varje element i en mängd, kallad domänen, till exakt ett element i en annan mängd, som kallas intervallet. På en x-y-axel representeras domänen på x-axeln (horisontell axel) och domänen på y-axeln (vertikal axel). En regel som relaterar ett element i domänen till mer än ett element i intervallet är inte en funktion. Detta krav innebär att om du ritar en funktion kan du inte hitta en vertikal linje som korsar grafen på mer än ett ställe.
Hur man avgör om relationen är en funktion
TL;DR (För lång, läste inte)
En relation är en funktion endast om den relaterar varje element i sin domän till endast ett element i intervallet. När du ritar en funktion kommer en vertikal linje att skära den vid endast en punkt.
Matematisk representation
Matematiker representerar vanligtvis funktioner med bokstäverna ”f(x), ” även om alla andra bokstäver fungerar lika bra. Du läser bokstäverna som ”f av x.” Om du väljer att representera funktionen som g(y), skulle du läsa den som ”g av y.” Ekvationen för funktionen definierar regeln genom vilken ingångsvärdet x transformeras till ett annat tal. Det finns ett oändligt antal sätt att göra detta. Här är tre exempel:
f(x) = 2x \ ,\ g (y) = y^2 + 2y + 1 \ ,\ p(m) = frac{1}{sqrt{m – 3}}
Bestämma domänen
Den uppsättning siffror som funktionen ”fungerar” för är domänen. Detta kan vara alla nummer, eller det kan vara en specifik uppsättning nummer. Domänen kan också vara alla nummer utom ett eller två för vilka funktionen inte fungerar. Till exempel, domänen för funktionen
f(x ) = frac{1}{2-x}
är alla tal utom 2, för när du matar in två är nämnaren 0, och resultatet är odefinierat. Domänen för
frac{1}{4 – x^2}
å andra sidan är alla tal utom +2 och −2 eftersom kvadraten på båda dessa siffror är 4.
Du kan också identifiera domänen för en funktion genom att titta på dess graf. Börja längst till vänster och flytta till höger, rita vertikala linjer genom x-axeln. Domänen är alla värden av x för vilka linjen skär grafen.
När är en relation inte en funktion?
Per definition relaterar en funktion varje element i domänen till endast ett element i intervallet. Det betyder att varje vertikal linje du ritar genom x-axeln kan skära funktionen i endast en punkt. Detta fungerar för alla linjära ekvationer och ekvationer med högre effekt där endast x-termen höjs till en exponent. Det fungerar inte alltid för ekvationer där både termerna x och y höjs till en potens. Till exempel, x2
+ y
2 = a2
definierar en cirkel. En vertikal linje kan skära en cirkel i mer än en punkt, så denna ekvation är inte en funktion.
I allmänhet, ett förhållande f(x ) = y är en funktion endast om, för varje värde på x som du ansluter till den, du få bara ett värde för y. Ibland är det enda sättet att avgöra om ett givet förhållande är en funktion eller inte att prova olika värden för x för att se om de ger unika värden för y.
Exempel: Definierar följande ekvationer funktioner?
y = 2x +1
Detta är ekvationen för en rät linje med lutning 2 och y-skärningspunkt 1, så det
