Hur man beräknar banor

Projektil rörelse​ hänvisar till rörelsen hos en partikel som förmedlas med en initial hastighet men som därefter inte utsätts för några krafter förutom tyngdkraften.

Detta inkluderar problem där en partikel slungas i en vinkel mellan 0 och 90 grader mot horisontalplanet, varvid det horisontella vanligtvis är marken. För enkelhetens skull antas dessa projektiler färdas i (​x, y​) planet, med ​x​ representerar horisontell förskjutning och ​y​ vertikal förskjutning.

Vägan som en projektil tar kallas dess ​bana​. (Observera att den vanliga länken i ”projektil” och ”bana” är stavelsen ”-ject”, det latinska ordet för ”kasta.” Att kasta ut någon är bokstavligen att kasta ut honom.) Projektilens ursprungspunkt i problem där du behöver beräkna banan antas vanligtvis vara (0, 0) för enkelhets skull om inte annat anges.

En projektils bana är en parabel (eller spårar åtminstone en del av en parabel) om partikeln avfyras på ett sådant sätt att den har en horisontell rörelsekomponent som inte är noll och det inte finns något luftmotstånd som påverkar partikel.

De kinematiska ekvationerna

Variablerna av intresse för en partikels rörelse är dess positionskoordinater ​x​ och ​y​, dess hastighet ​v​ och dess acceleration ​a​, allt i förhållande till en given förfluten tid ​t​ sedan problemets början (när partikeln lanseras eller släpps). Observera att utelämnandet av massa (m) innebär att gravitationen på jorden verkar oberoende av denna kvantitet.

Notera också att dessa ekvationer ignorerar luftmotståndets roll, vilket skapar en motståndskraft mot rörelse i verkliga jordsituationer. Denna faktor introduceras i mekanikkurser på högre nivå.

Variabler som ges en nedsänkt ”0” hänvisar till värdet av den kvantiteten vid tidpunkten ​t​ = 0 och är konstanter; ofta är detta värde 0 tack vare det valda koordinatsystemet, och ekvationen blir så mycket enklare. Accelerationen behandlas som konstant i dessa problem (och är i y-riktningen och lika med -​g,​ eller ​–9,8 m/s2​, accelerationen på grund av gravitationen nära jordens yta).

Horisontell rörelse​: x=x_0+v_xt

Termen vär den konstanta x-hastigheten.

Vertikal rörelse:

y=y_0+((v_{0y}+v_y)/2) t\ v_y=v_{0y}-gt\ y=y_0+v_{0y}t-(1 /2)gt^2\ v_y^2=v_{0y}^2-2g(y-y_0)

Exempel på projektilrörelse

Nyckeln till att kunna lösa problem som inkluderar banaberäkningar är att veta att de horisontella (x) och vertikala (y) komponenterna av rörelse kan analyseras separat, som visas ovan, och deras respektive bidrag till den övergripande rörelsen prydligt summerade i slutet av problemet.

Projektila rörelseproblem räknas som problem med fritt fall eftersom, oavsett hur saker och ting ser ut direkt efter gång ​t​ = 0, den enda kraft som verkar på det rörliga föremålet är gravitationen.

Var medveten om att eftersom gravitationen verkar nedåt, och detta anses vara den negativa y-riktningen, är accelerationsvärdet -g i dessa ekvationer och problem.

Byggvägsberäkningar

1. De snabbaste pitcharna inom baseboll kan kasta en boll i drygt 100 miles i timmen, eller 45 m/s. Om en boll kastas vertikalt uppåt med denna hastighet, hur hög kommer den att bli och hur lång tid tar det att återvända till den punkt där den släpptes?

Här ​vy0​ = 45 m/s, -​g​ = –9,8 m/s, och kvantiteterna av intresse är den ultimata höjden, eller ​y,​ och den totala tiden tillbaka till jorden. Total tid är en tvådelad beräkning: tid upp till y och tid tillbaka ner till y0

= 0. För den första delen av problemet, när bollen når sin topphöjd, är 0.

Börja med att använda ekvationen ​v= v0y 2 – 2g(y – y0)​ och koppla in de värden du har:

0 = (45)^2 – (2)( 9,8)(y – 0) = 2 025 – 19,6yimplicerar y=103,3text{ m}

Ekvationen ​vy

= v0y – gt​ visar att tiden t detta tar är (45/9,8) = 4,6 sekunder. För att få total tid, lägg till detta värde till den tid det tar för bollen att falla fritt till sin startpunkt. Detta ges av ​y = y​0+ v0yt – (1/2)gt​ 2, var nu, eftersom bollen fortfarande är i ögonblicket innan den börjar rasa, ​v 0y = 0.

Lösning:

103,3=(1/ 2)gt^2implies t=4.59text{ s}

Den totala tiden är alltså 4,59 + 4,59 = 9,18 sekunder. Det kanske överraskande resultatet att varje ”ben” på resan, upp och ner, tog samma tid, understryker det faktum att gravitationen är den enda kraften som spelar här.

2. ​Avståndsekvationen: ​ När en projektil avfyras med en hastighet ​v0​ och en vinkel θ från horisontalen, den har initiala horisontella och vertikala komponenter av hastighet ​v0x​ = ​v0​(cos θ) och ​v0y = ​v0​( sin θ).

Eftersom ​v​y = v 0y – gt​, och ​vy = 0 när projektilen når sin maximala höjd, tiden till maximal höjd ges av t = ​v0y​/g. På grund av symmetri, den tid det tar att återvända till marken (eller y = y0) är helt enkelt 2t = 2​0y ​/​g​.

Slutligen, kombinera dessa med förhållandet x = ​v0x ​t, det horisontella avståndet färdats givet en utskjutningsvinkel θ är

R= 2frac{v_0^2sin{theta}cos{theta}}{g}=frac{v_0^2sin{2theta}}{g}

(Det sista steget kommer från den trigonometriska identiteten 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)

Eftersom sin2θ har sitt maximala värde av 1 när θ = 45 grader, med denna vinkel maximeras det horisontella avståndet för en given hastighet vid R=frac{v_0^2}{g}

Lämna ett svar

Relaterade Inlägg

  • Hur man andas när man lyfter vikter |

  • Vilka är likheterna och skillnaderna mellan ett prisma och en pyramid?

  • Vilka kemikalier rostar metall snabbt?

  • Huvuddelarna av en vulkan

  • Vilka är de långsiktiga effekterna av tornados?

  • Fossiler som är mest användbara för korrelation