Om du ser uttrycken 32 och 53, kan du med en uppsving meddela att dessa betyder ”tre i kvadrat” och ”fem kubade”, och kunna gå omkring och hitta ekvivalenta tal utan exponenter, talen som representeras av de upphöjda siffrorna uppe till höger ovan. Dessa siffror i det här fallet är 9 och 125.
Men tänk om du istället för säg en enkel exponentialfunktion som y = x 3 istället har för att lösa en ekvation som y = 3x. Här visas x, den beroende variabeln, som en exponent. Finns det något sätt att dra ner variabeln från sin plats för att lättare hantera den matematiskt?
Det finns faktiskt, och svaret ligger i det naturliga komplementet av exponenter, som är roliga och användbara storheter som kallas logaritmer.
Vad är exponenter?
En exponent, även kallad en power, är ett komprimerat sätt att uttrycka upprepade multiplikationer av ett tal av sig självt. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1 024.
Varje tal som höjs till potensen 1 behåller samma värde; alla tal med exponenten 0 är lika med 1. Till exempel, 721 = 72; 720 = 1.
Exponenter kan vara negativa, vilket ger sambandet x−n
= 1/(xn). De kan också uttryckas som bråk, t.ex. 2(5/3). Om de uttrycks som bråk, måste både täljaren och nämnaren vara heltal.
Vad är logaritmer?
Logaritmer, eller ”loggar”, kan betraktas som exponenter uttryckta som något annat än en potens. Det hjälper förmodligen inte så mycket, så kanske ett eller två exempel.
I uttrycket 103 = 1 000, talet 10 är basen, och det höjs till tredje potens (eller power of tre). Du kan uttrycka detta som, ”basen av 10 upphöjd till tredje potens är lika med 1 000.”
Ett exempel på en logaritm är log
10(1 000) = 3
. Observera att siffrorna och deras relationer till varandra är desamma som i föregående exempel, men de har flyttats runt. Med ord betyder detta, ”loggbasen 10 av 1 000 är lika med 3.”
Kvantiteten till höger är den potens som basen av 10 måste höjas till för att vara lika med argument, eller inmatning av loggen, värdet inom parentes (i detta fall 1 000). Detta värde måste vara positivt, eftersom basen — som kan vara ett annat tal än 10, men antas vara 10 när det utelämnas, t.ex. ”log 4” — också alltid är positivt.
Användbara logaritmreglerSå hur kan du arbeta enkelt mellan loggar och exponenter? Några regler om loggars beteende kan få dig igång med exponentproblem.
log_{b}(xy) = log_{b}{x} + log_{b}y log_{b}(dfrac{ x}{y}) = log_{b}{x} text{ − }log_{b}y log_{b}(x^A) = A⋅log_{b}(x) log_{b}(dfrac {1}{y}) = −log_{b}(y)
Lösa för en exponent
Med ovanstående information är du redo att försöka lösa en exponent i en ekvation.
Exempel: Om 50 = 4x, vad är x?
Om du tar stocken till bas 10 på varje sida och utelämna explicit identifiering av basen, blir detta log 50 = log 4x. Från rutan ovan vet du att log 4x = x log 4. Detta lämnar dig med
logg 50 = x log 4, eller x = (log 50)/(log 4).
När du använder din kalkylator eller elektroniska enhet, upptäcker du att lösningen är (1.689/0.602) = 2,82.
Lösa exponentiella ekvationer med e
Samma regler gäller när basen är e, den så kallad naturlig logaritm, som har ett värde på cirka 2,7183. Du bör ha en knapp för detta på din miniräknare också. Detta värde får också sin egen notation: logex skrivs helt enkelt ”ln x.”
Funktionen y = ex i, med e inte en variabel utan en konstant med detta värde, är den enda funktionen med en lutning lika med sin egen höjd för alla x och y.
Precis som logg1010x = x, ln ex = x för alla x.
Exempel:
Lös ekvationen 16 = e2,7x.
Som ovan, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, alltså x = 2/ 77/2,7 = 1,03.
