Hur man bevisar De Morgans lagar

Inom matematisk statistik och sannolikhet är det viktigt att vara bekant med mängdlära. Mängdlärans elementära operationer har kopplingar till vissa regler i beräkningen av sannolikheter. Interaktionerna av dessa elementära uppsättningsoperationer av förening, korsning och komplement förklaras av två påståenden som kallas De Morgans lagar. Efter att ha angett dessa lagar kommer vi att se hur vi kan bevisa dem.

Uttalande av De Morgans lagar

De Morgans lagar relaterar till interaktionen mellan föreningen, skärningspunkten och komplementet. Kom ihåg att:

Skärningspunkten mellan uppsättningarna A och B består av alla element som är gemensamma för både A och B. Interse aktion betecknas med A ∩ B .

Föreningen av uppsättningarna

A och B består av alla element som i antingen A eller B, inklusive elementen i båda uppsättningarna. Korsningen betecknas med AU B.

Komplementet av uppsättningen A består av alla element som inte är element i A. Detta komplement betecknas med A^C.

Nu när vi har återkallat dessa elementära operationer, vi kommer att se uttalandet om De Morgans lagar. För varje par set A och B

(A ∩

FÖRE KRISTUS = A^VALPC.

(A U B)C

= A^{C ∩ FÖRE KRISTUS.}

Översikt över bevisstrategi

Innan vi hoppar in i beviset kommer vi att fundera på hur vi kan bevisa påståendena ovan. Vi försöker visa att två uppsättningar är lika med varandra. Det sätt som detta görs i ett matematiskt bevis är genom proceduren för dubbel inkludering. Konturen av denna bevismetod är:

1. Visa att mängden till vänster om vårt likhetstecken är en delmängd av mängden till höger.
2. Upprepa processen i motsatt riktning, och visa att uppsättningen till höger är en delmängd av uppsättningen till vänster.
3. Dessa två steg låter oss säga att uppsättningarna faktiskt är lika med varandra. De består av alla samma element.

Bevis på en av lagar

Vi kommer att se hur man bevisar den första av De Morgans lagar ovan. Vi börjar med att visa att (A ∩ FÖRE KRISTUS är en delmängd av A

VALP^C.

Anta först att

x är en del av (A ^{∩ B)C.}

Detta betyder att x inte är ett element av (A ∩ B

).

Eftersom korsningen är uppsättningen av alla element som är gemensamma för både A och B, det föregående steget betyder att x kan inte vara ett element av både A och B.

Detta betyder att x måste vara ett element i minst en av uppsättningarna A^C

eller B^C.

• Per definition på detta betyder att x är ett element av

A^C DU ÄR^{C Vi har visat den önskade delmängdens inkludering.}

Vårt bevis är nu halvvägs klart. För att slutföra det visar vi den motsatta delmängdens inkludering. Mer specifikt måste vi visa A^{VALPC är en delmängd av (}

A ∩ B)^C.

Vi börja med ett element x i mängden A^C DU ÄRC.

Detta betyder att x är ett element av A^C eller att x är ett element av FÖRE KRISTUS.

• Således x är inte ett element i minst en av uppsättningarna A eller B.

Så x kan inte vara ett element av både A och B. Detta betyder att x är ett element av (

A ∩ B) ^{C.Vi har visat önskad delmängdsinkludering.}

Bevis på den andra lagen