Algebra innebär ofta förenklade uttryck, men vissa uttryck är mer förvirrande att hantera än andra. Komplexa tal involverar den kvantitet som kallas i, ett ”imaginärt” tal med egenskapen i = √−1. Om du bara behöver ett uttryck som involverar ett komplext tal kan det verka skrämmande, men det är en ganska enkel process när du väl lär dig de grundläggande reglerna.
Förenkla komplexa tal genom att följa algebras regler med komplexa tal.
Vad är ett komplext tal?
Komplexa tal definieras genom att de inkluderar termen i, som är kvadratroten ur minus ett. Inom matematik på grundläggande nivå finns egentligen inte kvadratrötter från negativa tal, men de dyker upp ibland i algebraproblem. Den allmänna formen för ett komplext tal visar deras struktur:
z = a + bi
Där z betecknar det komplexa talet, a representerar vilket tal som helst (kallas den ”riktiga” delen), och b representerar ett annat tal (kallas den ”imaginära” delen) , som båda kan vara positiva eller negativa. Så ett exempel på komplext tal är:
z = 2 −4i
Eftersom alla kvadratrötter av negativa tal kan representeras av multiplar av i, detta är formen för alla komplexa tal. Tekniskt sett beskriver ett vanligt tal bara ett specialfall av ett komplext tal där b = 0, så alla tal kan betraktas som komplexa.
Grundläggande regler för algebra med komplexa tal
För att addera och subtrahera komplexa tal, addera eller subtrahera helt enkelt de reella och imaginära delarna separat. Så för komplexa tal z = 2 – 4i och w = 3 + 5i, summan är:
begin{aligned} z + w &= (2 – 4i) + (3 + 5i) \ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \ &= 5 + 1i \ &= 5 + i end{aligned}
Att subtrahera talen fungerar på samma sätt:
begin{aligned} z- w &= (2 – 4i) – (3 + 5i) \ &= (2 – 3) + (-4 – 5)i \ &= -1 -9i end{aligned}
Multiplikation är en annan enkel operation med komplexa tal, eftersom det fungerar som vanlig multiplikation förutom att du måste komma ihåg att i2 = −1. Så för att beräkna 3i × −4i:3i × -4i = -12i^2
Men eftersom i2= −1, sedan: -12i^2 = -12 ×-1 = 12
Med fullständiga komplexa tal (med z = 2 – 4i och w = 3 + 5i igen ), multiplicerar du dem på samma sätt som du skulle med vanliga tal som (a + b) (c + d), med metoden ”första, inre, yttre, sista” (FOIL) för att ge (a + b) (c + d ) = ac + bc + ad + bd. Allt du behöver komma ihåg är att förenkla alla instanser av i2. Så till exempel:
begin{aligned} z × w &= (2 -4i )(3 + 5i) \ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ &= 6 -12i + 10i – 20i^2 \ &= 6 -2i + 20 \ &= 26 + 2i end{aligned}
Dela komplexa tal
Att dividera komplexa tal innebär att multiplicera täljaren och nämnaren för bråkdel av det komplexa konjugatet av nämnaren. Det komplexa konjugatet betyder bara versionen av det komplexa talet med den imaginära delen omvänd i tecken. Så för z = 2 – 4i, det komplexa konjugatet z ) = 2 + 4i och för w = 3 + 5i, w = 3 −5i. För problemet:
frac{z}{w} = frac{2 – 4i}{3 + 5i}
Konjugatet som behövs är w*. Dividera täljaren och nämnaren med detta för att ge:
frac{z}{w} = frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
Och sedan jobbar du igenom som i föregående avsnitt. Täljaren ger:
begin{aligned} (2 -4i) (3 -5i) ) &= 6 -12i- 10i + 20i^2 \ &= -14-22i end{aligned}
Och nämnaren ger:
begin{aligned} (3 + 5i)(3-5i) &= 9 + 15i – 15i -25i^2 \ &= 9 + 25 \ &= 34 end{aligned }
Detta betyder:
begin{aligned} frac{z}{w} &= frac {-14 – 22i}{34} \ ,\ &= frac{-14}{34} – frac{22i}{34} \ ,\ &= frac{-7}{ 17} -frac{11i}{17} end{aligned}
Förenkla komplexa tal
Använd regler ovan efter behov för att förenkla komplexa uttryck. Till exempel:
z = frac{(4 + 2i) + (2 -i) )}{(2 + 2i)(2+ i)}
Detta kan förenklas genom att använda additionsregeln i täljaren, multiplikationsregeln i nämnaren och sedan slutföra divisionen. För täljaren:
(4 + 2i) + (2 – i) = 6 + i
För nämnaren:
begin{aligned} (2 + 2i)(2 + i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \ &= (4 -2) + 6i \ &= 2 + 6i end{aligned}
Att sätta tillbaka dessa på plats ger:
z = frac{6 + i}{2 + 6i}
Multiplicera båda delarna med konjugat av nämnaren leder till:
begin{aligned} z &= frac{ (6 + i) (2 – 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \ ,\ &= frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4 + 12i -12i -36i^2} \ ,\ &= frac{18 – 34i}{40} \ ,\ &= frac{9 – 17i}{20} \ ,\ &= frac{9}{20} -frac{17i}{20} \ end{aligned}
Så detta betyder att z förenklar enligt följande:
