Matematiska problem som involverar tredimensionella former kan kräva att vi hittar den laterala ytan av en fyrkantig pyramid. Den laterala ytarean är summan av areorna på dess sidoytor (sidor), medan den totala ytarean är summan av dess sidoytor och dess bas. Så i en fyrkantig pyramid är sidoytorna de fyra trianglarna som bildar formens övre och sidodelar.
TL;DR (För lång; Läste inte)
I alla följande beräkningar antar vi att dessa är rätta pyramider. Det betyder att pyramidens spets är direkt ovanför basens centrum. Detta betyder att alla laterala sidor är likbenta trianglar (eller liksidiga).
Lösning för Lateral Area
Den allmänna formeln för den laterala ytarean av en vanlig pyramid är:
Denna formel hittar i huvudsak den yta som utgör varje sidoyta med den klassiska formeln för arean av en triangel, som är: text{Area} = text{bas} times text{height}
Omkretsen fungerar som den kumulativa basen för alla sidor, och lutningshöjden på pyramiden är trianglarnas höjd. Vi dividerar sedan med två för att ta hänsyn till triangelarean, och vi får ytareaformeln.
Hitta det laterala området
Beräkna basens omkrets genom att multiplicera sidolängden på pyramiden med fyra – eftersom en kvadrat har fyra lika sidor. Att hitta lutningshöjden på en av sidoytorna kan visa sig vara svårare, men i den verkliga världen kan den ofta mätas med ganska enkla verktyg.
Om sidan av en fyrkantig pyramid – en rektangulär pyramid med en kvadratisk bas – mäter 6 tum, är omkretsen:
Slutningshöjden i sidled för en fyrkantig pyramid är avståndet från toppen av pyramiden till kanten på basen som delar en av triangelytorna. Om den laterala lutningshöjden är 8 tum kan vi räkna ut
Tips
Om vi istället får höjden på en kvadratisk pyramid kan vi använda pythagoras sats för att hitta lutningshöjden. Var bara noga med att använda basen av en rätvinklig triangel inom måtten på den fyrkantiga pyramiden.
Dela ditt svar med två
För att hitta den laterala ytarean, beräknar vi sedan
Vi vet nu att den laterala ytan av en fyrkantig pyramid med en basomkrets på 24 tum och en lateral lutningshöjd på 8 tum är 96 kvadrattum.
Tips
Om vi redan känner till arean för var och en av de fyra sidoytorna i en fyrkantspyramid, kan vi räkna ut sidoytan genom att hitta summan av ytorna av sidoytorna. Till exempel, om ytorna på sidoytorna är 10 tum, 10 tum, 7 tum och 7 tum, räkna ut 10 + 10 + 7 + 7 = 34. Den laterala ytarean är 34 kvadrattum.
Total yta av en fyrkantig pyramid
Efter att ha beräknat sidoarean av en kvadratisk pyramid kan vi hitta den totala ytan genom att addera basens area till detta tal. Eftersom basen är en kvadrat, kan vi ta en sidolängd av basen (s) och kvadrera den för att hitta arean.
vi lägger sedan bara till detta värde till lateralarean för att hitta ytarean.
Med hjälp av värdena från det föregående exemplet har baskanten en längd på 6 tum, så:
Vi lägger sedan till detta till sidoarean, 96 kvadrattum för att hitta ytarean på den fyrkantiga pyramiden.
Sidarea av en rektangulär pyramid
En rektangulär pyramid introducerar en annan nivå av komplexitet när hitta sidoarean, men vi kan fortfarande använda samma principer som en kvadratbaserad pyramid. Eftersom den rektangulära pyramiden fortfarande har triangulära sidor kan vi använda formeln för arean av en triangel, men vi måste ta hänsyn till att rektangelns sidor är olika. Det betyder att endast trianglarna mittemot varandra kommer att vara lika istället för att alla fyra sidoytorna är kongruenta.
För att ta hänsyn till detta kan vi beräkna lateralarean i par av motsatta ytor så vi delar upp omkretsen i längden (l) och bredden (w) och deras sidoytor.
Tillämpa dessa relationer på andra pyramider
När pyramidens bas är en annan polygon än en kvadrat kan denna formel för sidoarea fortfarande tillämpas. Oavsett om det är en hexagonal pyramid (med 6 laterala sidor) eller en femkantig pyramid (med 5 laterala sidor), kan den allmänna formeln i början användas. Eftersom alla pyramider har triangulära ytor kan vi beräkna omkretsen genom att summera basens sidor, och sedan multiplicera omkretsen med lutningshöjden och dividera med två för att få lateral area.
Vi kan också sedan beräkna arean på basen och lägga till det för att hitta formens totala yta.
Tips
Ytarean av en triangulär pyramid kan hittas på samma sätt, och om ytorna på den triangulära pyramiden är liksidiga, då kan arean av bara en yta multipliceras med 4 för att få den totala ytan.
