Hur man hittar exempel på standardavvikelse

Statistiska tester som ​t​-testet beror till sin natur på begreppet standardavvikelse. Varje student i statistik eller naturvetenskap kommer att använda standardavvikelser regelbundet och måste förstå vad det betyder och hur man hittar det från en uppsättning data. Tack och lov är det enda du behöver originaldata, och även om beräkningarna kan vara tråkiga när du har mycket data, bör du i dessa fall använda funktioner eller kalkylbladsdata för att göra det automatiskt. Men allt du behöver göra för att förstå nyckelbegreppet är att se ett grundläggande exempel som du enkelt kan räkna ut för hand. I grunden mäter urvalets standardavvikelse hur mycket kvantiteten du har valt varierar över hela populationen baserat på ditt urval.

Genom att använda ​n​ för att betyda urvalsstorlek, ​μ​ för medelvärdet av data, ​x​ⁱ

för varje enskild datapunkt (från i = 1 till i=n), och Σ som en summeringstecken, provvariansen (​s2i) är:

​s​² = ( Σ ​x​

i ^{– ​ μ​)2 / (​n ​ − 1)}

Och provets standardavvikelse är:

​ s ​

Standardavvikelse vs. exempel på standardavvikelse

Statistik kretsar kring att göra uppskattningar för hela populationer baserade på mindre urval från populationen och att ta hänsyn till eventuell osäkerhet i uppskattningen i processen. Standardavvikelser kvantifierar mängden variation i populationen du studerar. Om du försöker hitta medelhöjden får du ett kluster av resultat runt medelvärdet (medelvärdet), och standardavvikelsen beskriver bredden på klustret och fördelningen av höjder över populationen.

Standardavvikelsen ”provet” uppskattar den sanna standardavvikelsen för hela populationen baserat på ett litet urval från populationen. För det mesta kommer du inte att kunna ta ett urval av hela populationen i fråga, så urvalets standardavvikelse är ofta rätt version att använda.

Hitta standardavvikelse

Du behöver dina resultat och numret (​n) personer i ditt urval. Beräkna först medelvärdet av resultaten (​μ) genom att lägga ihop alla individuella resultat och sedan dividera detta med antalet mätningar.

Som exempel kan pulserna (i slag per minut) av fem män och fem kvinnor är:

71, 83, 63, 70, 75, 69, 62, 75, 66, 68

Vilket leder till ett medelvärde av:

begin{aligned} μ &= frac{71 + 83 + 63 + 70 + 75 + 69 + 62 + 75 + 66 + 68}{10} \ &= frac{702}{10} \ &= 70.2 end{aligned}

Nästa steg är att subtrahera medelvärdet från varje enskild mätning och sedan kvadrera resultatet. Som ett exempel, för den första datapunkten: (71 – 70,2)^2 = 0,8^2 = 0,64

Och för det andra: (83- 70,2)^2 = 12,8^2 = 163,84

Du fortsätter på det här sättet genom data och lägger sedan ihop dessa resultat. Så för exempeldata är summan av dessa värden:

Nästa steg skiljer mellan urvalets standardavvikelse och populationens standardavvikelse. För urvalsavvikelsen dividerar du detta resultat med urvalsstorleken minus ett (n​ −1). I vårt exempel är ​n​ = 10, så ​n​ – 1 = 9.

Detta resultat ger provvarians, betecknad med ​s​^2, vilket för exemplet är:

s^2 = frac{353,6}{9} = 39,289

Samplets standardavvikelse (​s​) är bara den positiva kvadratroten av detta tal:

s = sqrt{39.289} = 6,268

Om du beräknade populationens standardavvikelse (​σ​) är den enda skillnaden att du dividerar med ​n​ istället för ​n​ −1.

Hela formeln för provets standardavvikelse kan uttryckas med hjälp av summeringssymbolen Σ, med summan över hela urvalet, och xi som representerar i e resultatet av ​n. Provvariansen är:

s^2 = frac{(sum_i x_i – μ)^2}{n – 1}

Och provets standardavvikelse är helt enkelt:

s = sqrt{s^2}

Medelavvikelse vs. standardavvikelse

Medelavvikelsen skiljer sig något från standardavvikelsen. Istället för att kvadrera skillnaderna mellan medelvärdet och varje värde, tar du istället bara den absoluta skillnaden (ignorerar eventuella minustecken) och hittar sedan medelvärdet av dessa. För exemplet i föregående avsnitt ger de första och andra datapunkterna (71 och 83):

x_1 – μ = 71 – 70,2 = 0,8 \ x_2 – μ = 83 – 70,2 = 12,8

Den tredje datapunkten ger ett negativt resultat

x_3 – μ = 63 – 70,2 = -7,2

Men du tar bara bort minustecknet och tar detta som 7.2.

Summan av alla dessa ger dividerat med ​n​ ger medelavvikelsen. I exemplet:

begin{aligned} &frac{0.8 + 12.8 + 7.2 + 0.2 + 4.8 + 1.2 + 8.2 + 4.8 + 4.2 + 2.2}{10} \ &= frac{46.4}{10} \ &= 4.64 end{aligned}

Detta skiljer sig väsentligt från standardavvikelsen som beräknades tidigare, eftersom det inte involverar kvadrater och rötter.