Ett irrationellt tal är inte så skrämmande som det låter; det är bara ett tal som inte kan uttryckas som ett enkelt bråktal eller, för att uttrycka det på ett annat sätt, ett irrationellt tal är en aldrig sinande decimal som fortsätter ett oändligt antal platser efter decimalkomma. Du kan utföra de flesta operationer på irrationella tal precis som du skulle göra med rationella tal, men när det gäller att ta kvadratrötter, måste du lära dig att approximera värdet.
Vad är ett irrationellt tal?
Så vad är ett irrationellt tal, egentligen? Du kanske redan är bekant med två mycket kända irrationella tal: π eller ”pi”, som nästan alltid förkortas till 3,14 men i själva verket fortsätter oändligt till höger om decimalkomma; och ”e”, alias Eulers nummer, som vanligtvis förkortas till 2,71828 men som också fortsätter oändligt till höger om decimalkomma.
Men det finns många fler irrationella tal där ute, och här är ett enkelt sätt att upptäcka några av dem: Om talet under ett kvadratrottecken inte är en perfekt kvadrat, är den kvadratroten ett irrationellt tal.
Det är en fruktansvärt stor munfull, så här är ett exempel för att klargöra det. Det hjälper också att komma ihåg att en perfekt kvadrat är ett tal vars kvadratrot är ett heltal:
Är √8 ett irrationellt tal?
Om du har memorerat dina perfekta rutor eller ta dig tid att slå upp dem, du vet att
Eftersom √8 är mellan de två talen, men det inte finns något heltal mellan 2 och 3 som är dess rot, är √8 irrationell.
Att ta kvadratroten av ett irrationellt tal
När det gäller att beräkna kvadratroten ur ett irrationellt tal har du två val. Lägg antingen det irrationella talet i en miniräknare eller en kvadratrotskalkylator online (se Resurser), i vilket fall räknaren kommer att returnera ett ungefärligt värde för dig – eller så kan du använda en process i fyra steg för att uppskatta värdet själv.
Exempel 1:
Beräkna värdet på det irrationella talet √8.
Hitta de perfekta kvadraterna som skulle vara på vardera sidan av √8 på tallinjen. I det här fallet är √4 = 2 och √9 = 3. Välj den som ligger närmast ditt målnummer. Eftersom 8 är mycket närmare 9 än 4, välj sqrt{9} = 3
Dela sedan talet vars rot du vill ha – 8 – med din uppskattning. Om du fortsätter med exemplet har du: frac{8}{3} = 2,67
Hitta nu medelvärdet av resultatet från steg 2 med divisorn från steg 2. Här betyder det att ha i genomsnitt 3 och 2,67. Lägg först ihop de två talen och dividera sedan med två: 3 + 2,67 = 5,6667
(Detta är faktiskt den upprepade decimalen 5,6666666666, men den har har avrundats till fyra decimaler för korthetens skull.)
frac{5.6667}{ 2} = 2,83335
Resultatet från steg 3 fortfarande är inte exakt, men det börjar närma sig. Upprepa steg 2 och 3 efter behov, använd resultatet från steg 3 som den nya divisorn i steg 2 varje gång.
För att fortsätta exemplet delar du 8 med resultatet från steg 3 (2,83335), vilket ger dig:
frac{8}{2,83335} = 2,8235
(Återigen, avrundning till fyra decimaler för korthetens skull.)
Du skulle då genomsnittet resultatet av din division med divisor, som ger dig:
Du kan fortsätta denna process, upprepa steg 2 och 3 efter behov, tills svaret är så exakt som du behöver det.
Vad sägs om irrationella kvadratrötter?
Istället för att hitta kvadratroten ur ett irrationellt tal, du måste ta itu med irrationella tal som uttrycks i kvadratrotsform – en av de mest kända du kommer att lära dig om är √2.
Det finns inte mycket du kan göra med √2, förutom att uppskatta dess värde enligt beskrivningen ovan. Men om du får ett större irrationellt tal i kvadratrotsform kan du ibland använda det faktum att sqrt{cd} = sqrt{c} × sqrt{d} för att skriva om svaret i en enklare form.
Tänk på den irrationella kvadratroten √32. Även om den inte har en huvudrot (det vill säga en icke-negativ, heltalsrot), kan du faktorisera den till något med en bekant huvudrot: sqrt{32} = sqrt{16} × sqrt{2}
Du kan fortfarande inte göra mycket med √2, men √16 = 4, så du kan ta detta ett steg längre och skriva det som sqrt{32} = 4 sqrt{2}
Även om du inte har eliminerat det radikala tecknet helt, har du förenklat detta irrationella tal samtidigt som du behållit dess exakta värde.
