Ett polynom är ett uttryck som handlar om minskande potenser av ’x’, som i det här exemplet: 2X^3 + 3X^2 – X + 6. När ett polynom av grad två eller högre plottas, producerar det en kurva.
Denna kurva kan ändra riktning, där den börjar som en stigande kurva, för att sedan nå en höjdpunkt där den ändrar riktning och blir en nedåtgående kurva. Omvänt kan kurvan minska till en låg punkt vid vilken punkt den ändrar riktning och blir en stigande kurva. Om graden är tillräckligt hög kan det finnas flera av dessa vändpunkter. Det kan finnas så många vändpunkter som en mindre än graden — storleken på den största exponenten — av polynomet.
Hitta derivatan av polynomet. Detta är ett enklare polynom — en grad mindre — som beskriver hur det ursprungliga polynomet förändras. Derivatan är noll när det ursprungliga polynomet är vid en vändpunkt – den punkt där grafen varken ökar eller minskar. Rötterna till derivatan är de platser där det ursprungliga polynomet har vändpunkter. Eftersom derivatan har grad ett mindre än det ursprungliga polynomet, kommer det att finnas en vändpunkt mindre — högst — än graden av det ursprungliga polynomet.
Bildar derivatan av en polynomterm för term. Mönstret är detta: bX^n blir bnX^(n – 1). Applicera mönstret på varje term utom den konstanta termen. Derivator uttrycker förändring och konstanter förändras inte, så derivatan av en konstant är noll. Till exempel är derivatorna av X^4 + 2X^3 – 5X^2 – 13X + 15 4X^3 + 6X^2 – 10X – 13. 15:an försvinner eftersom derivatan av 15, eller någon konstant, är noll. Derivatan 4X^3 + 6X^2 – 10X – 13 beskriver hur X^4 + 2X^3 – 5X^2 – 13X + 15 ändras.
Hitta vändpunkterna för ett exempel på polynom X^3 – 6X^2 + 9X – 15. Hitta först derivatan genom att använda mönstret term för term för att få derivatan polynom 3X^2 -12X + 9. Sätt derivatan till noll och faktor för att hitta rötterna . 3X^2 -12X + 9 = (3X – 3)(X – 3) = 0. Detta betyder att X = 1 och X = 3 är rötter av 3X^2 -12X + 9. Detta betyder att grafen för X^ 3 – 6X^2 + 9X – 15 kommer att ändra riktning när X = 1 och när X = 3.
Tips
Det kommer att spara mycket tid om du räknar ut vanliga termer innan du börjar leta efter vändpunkter. Till exempel. polynomet 3X^2 -12X + 9 har exakt samma rötter som X^2 – 4X + 3. Att räkna ut 3:an förenklar allt.
Graden av derivatan ger maximalt antal rötter. I fallet med flera rötter eller komplexa rötter kan derivatan som är satt till noll ha färre rötter, vilket innebär att det ursprungliga polynomet kanske inte ändrar riktning så många gånger som du kan förvänta dig. Till exempel har ekvationen Y = (X – 1)^3 inga vändpunkter.
