Integrering av funktioner är en av kalkylens kärntillämpningar. Ibland är detta enkelt, som i:
Hur man integrerar kvadratrotsfunktioner
F(x) = int( x ^3 + 8) dx
I ett jämförelsevis komplicerat exempel av denna typ kan du använda en version av den grundläggande formeln för att integrera obestämda integraler:
int (x^n + A) dx = frac{x^{(n + 1)}}{n + 1} + Ax + C
där A och C är konstanter.
Så för detta exempel ,
int x^3 + 8 = frac{x^4}{4} + 8x + C
Integration av grundläggande kvadratrotsfunktionerPå ytan, Att integrera en kvadratrotsfunktion är besvärligt. Till exempel kan du bli förkyld av:
F(x) = int sqrt{(x^3) + 2x – 7}dxMen du kan uttrycka en kvadratrot som en exponent, 1/2:
sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}Integralen blir därför:
int (x ^{3/2} + 2x – 7)dx som du kan använda vanlig formel från ovan:
begin{aligned} int (x^{3/2} + 2x – 7)dx &= frac{ x^{(5/2)}}{5/2} + 2bigg(frac{x^2}{2}bigg) – 7x \ &= frac{2}{5}x^{ (5/2)} + x^2 – 7x end{aligned}Integration av mer komplexa kvadratrotsfunktioner
Ibland kan du ha mer än en term under det radikala tecknet, som i detta exempel:
F(x) = int frac{x + 1}{sqrt{x – 3}}dxDu kan använda u-sub för att fortsätta. Här ställer du in u lika med kvantiteten i nämnaren:
u = sqrt{x – 3}Lös detta för x genom att kvadrera båda sidorna och subtrahera:
u^2 = x – 3 \ x = u^2 + 3Detta låter dig få dx i termer av u genom att ta derivatan av x:
dx = (2u )duAtt ersätta tillbaka till den ursprungliga integralen ger
begin{aligned} F(x) &= int frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u)du \ & = int frac{2u^3 + 6u + 2u}{u}du \ &= int (2u^2 + 8)du end{aligned}Nu kan du integrera detta med den grundläggande formeln och uttrycka u i termer av x:
begin{aligned} int (2u^2 + 8)du &= frac{2}{3}u^3 + 8u + C \ &= frac {2}{3} (sqrt{x – 3})^3 + 8( sqrt{x – 3}) + C \ &= frac{2}{3} (x – 3)^{(3/2)} + 8(x – 3)^{(1/2)} + C end{aligned}Relaterade Inlägg
-
-
-
-
-
-
På ytan, Att integrera en kvadratrotsfunktion är besvärligt. Till exempel kan du bli förkyld av:
F(x) = int sqrt{(x^3) + 2x – 7}dx
Men du kan uttrycka en kvadratrot som en exponent, 1/2:
sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}
Integralen blir därför:
int (x ^{3/2} + 2x – 7)dx
som du kan använda vanlig formel från ovan:
begin{aligned} int (x^{3/2} + 2x – 7)dx &= frac{ x^{(5/2)}}{5/2} + 2bigg(frac{x^2}{2}bigg) – 7x \ &= frac{2}{5}x^{ (5/2)} + x^2 – 7x end{aligned}
Integration av mer komplexa kvadratrotsfunktioner
Ibland kan du ha mer än en term under det radikala tecknet, som i detta exempel:
F(x) = int frac{x + 1}{sqrt{x – 3}}dx
Du kan använda u-sub för att fortsätta. Här ställer du in u lika med kvantiteten i nämnaren:
u = sqrt{x – 3}
Lös detta för x genom att kvadrera båda sidorna och subtrahera:
u^2 = x – 3 \ x = u^2 + 3
Detta låter dig få dx i termer av u genom att ta derivatan av x:
dx = (2u )du
Att ersätta tillbaka till den ursprungliga integralen ger
begin{aligned} F(x) &= int frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u)du \ & = int frac{2u^3 + 6u + 2u}{u}du \ &= int (2u^2 + 8)du end{aligned}
Nu kan du integrera detta med den grundläggande formeln och uttrycka u i termer av x:
begin{aligned} int (2u^2 + 8)du &= frac{2}{3}u^3 + 8u + C \ &= frac {2}{3} (sqrt{x – 3})^3 + 8( sqrt{x – 3}) + C \ &= frac{2}{3} (x – 3)^{(3/2)} + 8(x – 3)^{(1/2)} + C end{aligned}