Absoluta värdeekvationer kan vara lite skrämmande i början, men om du fortsätter med det kommer du snart att lösa dem lätt. När du försöker lösa absolutvärdesekvationer hjälper det att hålla innebörden av absolutvärde i åtanke.
Definition av absolut värde
Det absoluta värdet av ett tal x, skrivet | x |, är dess avstånd från noll på en tallinje. Till exempel är −3 3 enheter från noll, så det absoluta värdet av −3 är 3. Vi skriver det så här: | −3 | = 3.
Ett annat sätt att tänka på är att absolut värde är den positiva ”versionen” av ett tal. Så det absoluta värdet av −3 är 3, medan det absoluta värdet av 9, som redan är positivt, är 9.
Algebraiskt kan vi skriva en formel för absolutvärde som ser ut så här:
| x | = begin{cases} x &text{om } x≥ 0 \ -x &text{if } x ≤ 0 end{cases}
Ta ett exempel där x = 3. Eftersom 3 ≥ 0 är det absoluta värdet på 3 3 (i absolutvärdesnotation, det vill säga: | 3 | = 3).
Vad händer nu om x = −3? Det är mindre än noll, så | −3 | = −( −3). Motsatsen, eller ”negativ” till −3 är 3, så | −3 | = 3.
Lösa absolut värde Ekvationer
Nu till några absolutvärdesekvationer. De allmänna stegen för att lösa en absolutvärdesekvation är:
Isolera det absoluta värdeuttrycket.
Lös den positiva ”versionen” av ekvationen.
Lös den negativa ”versionen” av ekvationen genom att multiplicera kvantiteten på andra sidan av likhetstecknet med −1.
Ta en titt på problemet nedan för ett konkret exempel på stegen.
Exempel: Lös ekvationen för x: | 3 + x | – 5 = 4
Du måste skaffa | 3 + x | av sig själv på vänster sida av likhetstecknet. För att göra detta, lägg till 5 på båda sidor:
| 3 + x | – 5 + 5 = 4 + 5 \ | 3 + x | = 9
Lös för x som om absolutvärdetecknet inte fanns där!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Det är enkelt: subtrahera bara 3 från båda sidor.
3 + x -3 = 9 -3 \ x = 6
Så en lösning på ekvationen är att x = 6.
Börja igen vid | 3 + x | = 9. Algebra i föregående steg visade att x kunde vara 6. Men eftersom detta är en ekvation med absolut värde finns det en annan möjlighet att överväga. I ekvationen ovan, det absoluta värdet av ”något” (3 + x) är lika med 9. Visst, det absoluta värdet av positiva 9 är lika med 9, men det finns ett annat alternativ här också! Absolutvärdet av −9 är också lika med 9. Så det okända ”något” kan också vara lika med −9.
Med andra ord: 3 + x = -9
Det snabba sättet att komma fram till denna andra version är att multiplicera kvantiteten på andra sidan av lika från absolutvärdeuttrycket (9, i detta fall) med −1 , lös sedan ekvationen därifrån.
Så:| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × ( -1) \ 3 + x = -9
Subtrahera 3 från båda sidor för att få: 3 + x -3 = -9 -3 \ x = -12
Så de två lösningarna är: x = 6 eller x = −12.
Och där har du det! Den här typen av ekvationer kräver övning, så oroa dig inte om du kämpar först. Fortsätt med det så blir det lättare!
