Kvadratroten ur ett tal är ett värde som, multiplicerat med sig självt, ger det ursprungliga talet. Till exempel är kvadratroten ur 0 0, kvadratroten ur 100 är 10 och kvadratroten ur 50 är 7,071. Ibland kan du räkna ut, eller helt enkelt komma ihåg, kvadratroten av ett tal som i sig är en ”perfekt kvadrat”, som är produkten av ett heltal multiplicerat med sig själv; när du går vidare genom dina studier kommer du sannolikt att utveckla en mental lista med dessa siffror (1, 4, 9, 25, 36 . . .).
Problem som involverar kvadratrötter är oumbärliga inom teknik, kalkyl och praktiskt taget alla områden i den moderna världen. Även om du enkelt kan hitta kvadratrotekvationsräknare online (se Resurser för ett exempel), är att lösa kvadratrotsekvationer en viktig färdighet inom algebra, eftersom det låter dig bli bekant med att använda radikaler och arbeta med ett antal problemtyper utanför riket av kvadratrötter i sig.
Kvadrater och kvadratrötter: grundläggande egenskaper
Det faktum att multiplicera två negativa tal tillsammans ger ett positivt tal är viktigt i kvadratröttervärlden eftersom det antyder att positiva tal faktiskt har två kvadratrötter (t.ex. kvadratrötterna av 16 är 4 och −4, även om bara den förra är intuitiv). På samma sätt har negativa tal inte reella kvadratrötter, eftersom det inte finns något reellt tal som får ett negativt värde när det multipliceras med sig självt. I den här presentationen kommer den negativa kvadratroten ur ett positivt tal att ignoreras, så att ”kvadratroten av 361” kan tas som ”19” snarare än ” -19 och 19.”
Det är också viktigt att inse att funktioner som involverar kvadrater och kvadratrötter inte är linjära när man försöker uppskatta värdet av en kvadratrot när ingen kalkylator är praktisk. . Du kommer att se mer om detta i avsnittet om grafer senare, men som ett grovt exempel har du redan observerat att kvadratroten ur 100 är 10 och kvadratroten ur 0 är 0. Vid sikt kan detta leda till att du gissar att kvadratroten för 50 (vilket är halvvägs mellan 0 och 100) måste vara 5 (vilket är halvvägs mellan 0 och 10). Men du har också redan lärt dig att kvadratroten ur 50 är 7,071.
Slutligen kan du ha internaliserat tanken att multiplicera två tal tillsammans ger ett tal som är större än sig själv, vilket antyder att kvadratrötter från tal alltid är mindre än det ursprungliga talet. Detta är inte fallet! Tal mellan 0 och 1 har också kvadratrötter, och i alla fall är kvadratroten större än det ursprungliga talet. Detta visas enklast med hjälp av bråk. Till exempel har 16/25, eller 0,64, en perfekt kvadrat i både täljaren och nämnaren. Detta betyder att kvadratroten av bråket är kvadratroten av dess övre och nedre komponenter, vilket är 4/5. Detta är lika med 0,80, ett större tal än 0,64.
Kvadratrotsterminologi”Kvadratroten ur x” skrivs vanligtvis med vad som kallas ett radikalt tecken, eller bara en radikal (√ ). Således för alla x: sqrt{x} representerar dess kvadratrot. Vänd runt detta, kvadraten på ett tal x skrivs med exponenten 2 (x2). Exponenter tar upphöjda texter på ordbehandling och relaterade applikationer, och kallas även för makter. Eftersom radikala tecken inte alltid är lätta att producera på begäran, är ett annat sätt att skriva ”kvadratroten av x” är att använda en exponent: x^{1/2}
Detta är i sin tur en del av ett allmänt schema:
x^{ (y/z)} betyder ”höja x till kraften av y, ta sedan ’z’ roten till det.” x1/2 betyder alltså ”höja x till den första potensen, som är helt enkelt x igen, och sedan ta roten 2 av det, eller kvadratroten.” Förlänger detta, x(5/3 betyder ”höja x till 5 potens, hitta sedan den tredje roten (eller kubroten) av resultatet.”
Radikaler kan användas för att representera andra rötter än 2, kvadratroten. Detta görs genom att helt enkelt lägga till en upphöjd text längst upp till vänster på radikalen.
sqrt {x^5} representerar sedan samma nummer som x(5/3) från föregående stycke gör.
De flesta kvadratrötter är irrationella tal. Det betyder att de inte bara inte är snygga, snygga heltal (t.ex. 1, 2, 3, 4 . . .), utan de kan inte heller uttryckas som ett snyggt decimaltal som avslutas utan att behöva avrundas. Ett rationellt tal kan uttryckas som ett bråktal. Så även om 2,75 inte är ett heltal så är det ett rationellt tal eftersom det är samma sak som bråket 11/4. Du fick höra tidigare att kvadratroten ur 50 är 7,071, men detta är faktiskt avrundat från ett oändligt antal decimaler. Det exakta värdet på √50 är 5√2, och du kommer snart att se hur detta bestäms.
Graf för kvadratrotsfunktioner
Du har redan sett den ekvationen i som involverar kvadrater och kvadratrötter är olinjära. Ett enkelt sätt att komma ihåg detta är att graferna för lösningarna av dessa ekvationer inte är linjer. Detta är vettigt, för om, som nämnts, kvadraten på 0 är 0 och kvadraten på 10 är 100 men kvadraten på 5 inte är 50, måste grafen som är resultatet av att helt enkelt kvadrera ett tal kurva sig fram till de korrekta värdena.
Detta är fallet med grafen för y = x^2 som du kan se själv genom att besöka kalkylatorn i Resurser och ändra parametrarna. Linjen går genom punkten (0,0), och y går inte under 0, vilket du bör förvänta dig eftersom du vet att x2 är aldrig negativ. Du kan också se att grafen är symmetrisk runt y-axel, vilket också är vettigt eftersom varje positiv kvadratrot av ett givet tal åtföljs av en negativ kvadratrot av samma storlek. Därför, med undantag för 0, varje y värde på grafen för y = x2 är associerad med två x-värden.
Kvadratrotsproblem
Ett sätt att ta itu med grundläggande kvadratrotproblem för hand är att leta efter perfekta rutor ”dolda” inuti problemet. Först är det viktigt att vara medveten om några viktiga egenskaper hos kvadrater och kvadratrötter. En av dessa är att, precis som √x2 är helt enkelt lika med x (eftersom radikalen och exponenten tar bort varandra): sqrt{x^2y} = xsqrt{y}
Det vill säga, om du har en perfekt kvadrat under en radikal som multiplicerar ett annat tal, kan du ”dra ut det” och använda det som en koefficient för det som återstår. Till exempel, återgå till kvadratroten av 50 sqrt{50} = sqrt{(25)(2)} = 5sqrt{2}
Ibland kan du avsluta med ett tal som involverar kvadratrötter som uttrycks som ett bråk, men som fortfarande är ett irrationellt tal eftersom nämnaren, täljaren eller båda innehålla en radikal. I sådana fall kan du bli ombedd att rationalisera nämnaren. Till exempel, talet frac{6sqrt{5}} {sqrt{45}} har en radikal i både täljaren och nämnaren. Men efter att ha granskat ”45” kanske du känner igen det som produkten av 9 och 5, vilket betyder att sqrt{45} = sqrt{(9)(5)} = 3sqrt{5}
Därför kan bråket skrivas frac{6sqrt{5}}{3sqrt{5}}
Radikalerna upphäver varandra ut, och du är kvar med 6/3 = 2.
