Exponentiella funktioner berättar historien om explosiva förändringar. De två typerna av exponentiella funktioner är exponentiell tillväxt och exponentiell avklingning. Fyra variabler – procentuell förändring, tid, mängden i början av tidsperioden och mängden i slutet av tidsperioden – spelar roller i exponentialfunktioner. artikeln fokuserar på hur man använder ordproblem för att hitta mängden i början av tidsperioden,
a.
Exponentiell tillväxt
Exponentiell tillväxt: förändringen som sker när ett ursprungligt belopp ökas med en konstant takt över en tidsperiod
Användning av exponentiell tillväxt i verkliga livet:
- Värden på huspriser
Värden på investeringar
Ökat medlemskap på en populär webbplats för sociala nätverk
Här är en exponentiell tillväxtfunktion:
y =
a(1 + b)
x
y: Slutligt belopp som återstår under en tidsperiod
a: Det ursprungliga beloppet
x: Tid
tillväxtfaktorn är (1 +
b )).
Variabeln,
b, är procentuell förändring i decimalform.
Syfte med att hitta det ursprungliga beloppet
Om du läser den här artikeln är du förmodligen ambitiös. Om sex år kanske du vill ta en grundexamen vid Dream University. Med en prislapp på 120 000 $ framkallar Dream University finansiell nattskräck. Efter sömnlösa nätter träffar du, mamma och pappa en finansiell planerare. Dina föräldrars blodsprängda ögon klarnar när planeraren avslöjar en investering med en tillväxt på 8 % som kan hjälpa din familj att nå målet på 120 000 USD. Studera hårt. Om du och dina föräldrar investerar $75 620,36 idag, kommer Dream University att bli er verklighet.
Hur man löser för det ursprungliga beloppet av en exponentiell funktion
Denna funktion beskriver den exponentiella tillväxten av investeringen:
120 000 =
a(1 +.08)6
120 000: Slutligt belopp som återstår efter 6 år
.08: Årlig tillväxttakt
- 6: Antalet år för investeringen att växa
a: Det ursprungliga beloppet som din familj investerade
Ledtråd: Tack vare den symmetriska egenskapen jämlikhet, 120 000 =
a(1 +.08)6
är detsamma som
a
(1 +.08)6
= 120 000. (Symmetrisk egenskap hos likhet: Om 10 + 5 = 15, då 15 = 10 +5.)
Om du föredrar att skriva om ekvationen med konstanten, 120 000, till höger om ekvationen, gör det.
a(1 +.08)
6 = 120 000
Visst, ekvationen ser inte ut som en linjär ekvation (6a = $120 000), men det går att lösa. Hålla fast vid det!
a(1 +.08)
6 = 120 000
Var försiktig: Lös inte den här exponentiella ekvationen genom att dividera 120 000 med 6. Det är en frestande matematik no-no. 1. Använd Order of Operations för att förenkla.
a(1 +.08)
6
= 120 000
a(1,08)6 = 120 000 (parentes)
a(1,586874323) = 120 000 (exponent)
2. Lös genom att dividera
a(1,586874323) = 120 000
a(1,586874323)/(1,586874323) = 120 000/(1,586874323) )
1a = 75 620,35523
a = 75 620,35523
Det ursprungliga beloppet att investera är cirka 75 620,36 USD.
3. Frys – du är inte klar än. Använd ordningsföljd för att kontrollera ditt svar.
120 000 =
a(1 +.08)6
120 000 = 75 620,35523(1 +.08)
6
120 000 = 75 620,35523(1,08)
6
(parentes)
120 000 = 75 620,35523(1,586874323) (Exponent)
120 000 = 120 000 (Multiplikation)
Svar och förklaringar till frågorna
Originalkalkylblad
Bonde och vännerAnvänd informationen om bondens sociala nätverkssajt för att svara på frågorna 1-5.
En bonde startade en webbplats för socialt nätverk, farmerandfriends.org, som delar med sig av trädgårdstips i trädgården. När farmerandfriends.org gjorde det möjligt för medlemmar att lägga upp foton och videor, växte webbplatsens medlemskap exponentiellt. Här är en funktion som beskriver den exponentiella tillväxten.
120 000 =
a(1 + .40)
6
- Hur många personer tillhör farmerandfriends.org 6 månader efter det aktiverat fotodelning och videodelning? 120 000 personer
Jämför denna funktion med den ursprungliga exponentiella tillväxtfunktionen:
120 000 = a(1 + .40)
6
y =
a(1 +
b )
x
Ursprunget det totala beloppet,
y, är 120 000 i den här funktionen om sociala nätverk.
Representerar denna funktion exponentiell tillväxt eller förfall? Denna funktion representerar exponentiell tillväxt av två skäl. Orsak 1: Informationsparagrafen avslöjar att ”webbplatsens medlemskap växte exponentiellt.” Anledning 2: Ett positivt tecken är precis före
b, den månatliga procentuella förändringen.
Vad är den månatliga procentuella ökningen eller minskningen? Den månatliga procentuella ökningen är 40 %, .40 skrivs som en procent.
- Hur många medlemmar tillhörde farmerandfriends.org för 6 månader sedan, precis innan bilddelning och videodelning introducerades? Cirka 15 937 medlemmar
Använd Order of Operations för att förenkla.
120 000 =
a(1,40)6
120 000 =
a(7,529536)
Dela för att lösa.120 000/7,529536 =
a (7,529536)/7,529536
15 937,23704 = 1a
15 937,23704 =
a
Använd Order of Operations för att kontrollera ditt svar.
120 000 = 15 937,23704( 1 + .40)
6120 000 = 15 937,23704(1,40)6
120 000 = 15 937,23704(7,529536)120 000 = 120 000
Koppla in det du vet om funktionen. Kom ihåg att den här gången har du a, det ursprungliga beloppet. Du löser för
y, det belopp som återstår vid slutet av en tidsperiod.
y =
a(1 + .40)
y = 903,5 44.3203x
y = 15 937,23704(1+.40)12
Använd Order of Operations för att hitta y.
y = 15 937,23704(1,40)12
y = 15 937,23704(56,69391238)
