Den negativa binomialfördelningen är en sannolikhetsfördelning som används med diskreta slumpvariabler. Denna typ av fördelning avser antalet försök som måste ske för att att ha ett förutbestämt antal framgångar. Som vi kommer att se är den negativa binomialfördelningen relaterad till binomialfördelningen. Dessutom generaliserar denna fördelning den geometriska fördelningen.
Inställningen
Vi kommer att börja med att titta på både inställningen och de villkor som ger upphov till en negativ binomialfördelning. Många av dessa förhållanden är mycket lika en binomial inställning.
- Vi har ett Bernoulli-experiment. Det betyder att varje försök vi utför har en väldefinierad framgång och misslyckande och att dessa är endast utfall.
- Sannolikheten för framgång är konstant oavsett hur många gånger vi utföra experimentet. Vi betecknar denna konstanta sannolikhet med en p.
- Experimentet upprepas för
X oberoende prövningar, vilket betyder att resultatet av en prövning inte har någon effekt på resultatet av en efterföljande prövning.
Dessa tre villkor är identiska med dem i en binomialfördelning. Skillnaden är att en binomial slumpvariabel har ett fast antal försök n.
De enda värdena för X är 0, 1, 2, …,
En negativ binomialfördelning handlar om antalet försök X som måste ske tills vi har r framgångar. Talet r är ett heltal som vi väljer tidigare vi börjar utföra våra försök. Slumpvariabeln X är fortfarande diskret. Men nu kan den slumpmässiga variabeln anta värden på X =
r, r+1, r+2, … Denna slumpmässiga variabel är uträkneligt oändlig, eftersom det kan ta en godtyckligt lång tid innan vi får r framgångar.
Exempel Till hjälpa till att förstå en negativ binomialfördelning, är det värt att överväga ett exempel. Antag att vi slår ett rättvist mynt och vi ställer frågan: ”Vad är sannolikheten att vi får tre huvuden i det första X [(r – 1)! k!] vänder mynt?” Detta är en situation som kräver en negativ binomialfördelning. Myntslagarna har två möjliga utfall, sannolikheten för framgång är en konstant 1/2, och försöken är de oberoende av varandra. Vi frågar efter sannolikheten att få de tre första huvudena efter X myntflikar. Därför måste vi vända myntet minst tre gånger. Vi fortsätter sedan att vända tills det tredje huvudet dyker upp. För att beräkna sannolikheter relaterade till en negativ binomialfördelning, behöver lite mer information. Vi behöver veta sannolikhetsmassfunktionen. Sannolikhetsmassfunktion Sannolikhetsmassfunktionen för en negativ binomialfördelning kan utvecklas med lite eftertanke. Varje försök har en sannolikhet att lyckas som ges av s. Eftersom det bara finns två möjliga utfall betyder detta att sannolikheten för misslyckande är konstant (1 – p ). Den r:e framgången måste ske för x:e och sista försöket. De föregående x – 1 test måste innehålla exakt r – 1 framgångar. Antalet sätt som detta kan inträffa ges av antalet kombinationer: C(x – 1, r -1) = (x – 1 )!/[(r – 1)!(x – r)!]. Utöver detta har vi oberoende evenemang , och så kan vi multiplicera våra sannolikheter tillsammans. Om vi sätter ihop allt detta får vi sannolikhetsmassfunktionen f(x) =C( x – 1, r -1) p r (1 – p )x – r.
Namnet på distributionen
Vi är nu i stånd att förstå varför denna slumpvariabel har en negativ binomialfördelning. Antalet kombinationer som vi stötte på ovan kan skrivas annorlunda genom att ställa in x – r = k:
(x – 1)!/[(r – 1)!(x – r)!] = (x + k – 1)!/[(r – 1)! k!] = (r + k – 1)(x + k – 2) . . . (r + 1)(r)/k! = (-1)
k(-r)(-r – 1). . .(-r -(k + 1)/k!.
Här ser vi uppkomsten av en negativ binomial koefficient, som används när vi höjer ett binomial uttryck (a + b) till en negativ potens.
Medelvärde
Medelvärdet för en fördelning är viktigt att veta eftersom det är ett sätt att beteckna fördelningens centrum. typ av slumpvariabel ges av dess förväntade värde och är lika med r / p. Vi kan bevisa detta noggrant genom att använda den momentgenererande funktionen för denna distribution. Intuition guidar oss även till detta uttryck. Antag att vi utför en serie prövningar n
1 tills vi uppnår r framgångar. Och sedan gör vi det här igen, bara den här gången tar det n
2
försök. Vi fortsätter detta om och om igen tills vi har ett stort antal grupper av försök N
= n1
+ n
2
+ . . . +
n
k.
Var och en av dessa k försök innehåller r
framgångar, så vi har totalt kr framgångar. Om N är stor, skulle vi förvänta oss att se om Np framgångar. Så vi likställer dessa tillsammans och har kr = Np.
Vi gör lite algebra och finner att N / k = r / p.
Bråkdelen till vänster i denna ekvation är det genomsnittliga antalet försök som krävs för var och en av våra k grupper av försök. Med andra ord, detta är det förväntade antalet gånger för att utföra experimentet så att vi har totalt r framgångar. Det är precis den förväntningen vi vill hitta. Vi ser att detta är lika med formeln r / p.
Varians Variansen av den negativa binomialfördelningen kan också beräknas genom att använda den momentgenererande funktionen. När vi gör detta ser vi att variansen av denna fördelning ges av följande formel:
r(1 – p)/p
2
Momentgenererande funktion
Den momentgenererande funktionen för denna typ av slumpvariabel är ganska komplicerad. Kom ihåg att den momentgenererande funktionen är definierad som det förväntade värdet E[etX]. Genom att använda denna definition med vår sannolikhetsmassfunktion har vi:
M(t) = E[etX] = Σ (x – 1)!/[(r – 1)!(x – r)!] e
tXp
r
(1 – p
)
x – r
Efter viss algebra blir detta M(t) = (pe
t
)
r
[1-(1- p)et]-r
Förhållande till andra distributioner
Vi har sett ovan hur den negativa binomialfördelningen på många sätt liknar binomialfördelningen. Utöver detta samband är den negativa binomialfördelningen en mer generell version av en geometrisk fördelning.
En geometrisk slumpvariabel X
räknar antalet försök som krävs innan den första framgången inträffar. Det är lätt att se att detta är exakt den negativa binomialfördelningen, men med r lika med en.
Andra formuleringar av den negativa binomialfördelningen finns. Vissa läroböcker definierar X som antalet försök fram till
r fel inträffar.
Exempelproblem
Vi kommer att titta på ett exempelproblem för att se hur man arbetar med den negativa binomialfördelningen. Antag att en basketspelare är en 80 % frikastskytt. Antag vidare att att göra ett frikast är oberoende av att göra nästa. Vad är sannolikheten att den åttonde korgen för den här spelaren görs på det tionde frikastet?
Vi ser att vi har ea inställning för en negativ binomialfördelning. Den konstanta sannolikheten för framgång är 0,8, så sannolikheten för misslyckande är 0,2. Vi vill bestämma sannolikheten för X=10 när r = 8.
Vi kopplar in dessa värden till vår sannolikhetsmassfunktion:
f(10) =C(10 -1, 8 – 1) (0,8)8
(0,2)
2
= 36(0,8)8(0,2)
2, vilket är cirka 24 %.
Vi kan sedan fråga vad det genomsnittliga antalet frikast är innan den här spelaren gör åtta av dem. Eftersom det förväntade värdet är 8/0,8 = 10 är detta antalet skott.
