Integrering av delar är en av många integrationstekniker som används i kalkyl. Denna metod för integration kan ses som ett sätt att ångra produktregeln. En av svårigheterna med att använda denna metod är att avgöra vilken funktion i vår integrand som ska matchas till vilken del. LIPET-akronymen kan användas för att ge lite vägledning om hur man delar upp delarna av vår integral.
Integration av delar
Kom ihåg metoden för integration i delar. Formeln för denna metod är:
∫
u
d
v
=
uv
– ∫
v
du
.
Denna formel visar vilken del av integranden för att sätta lika med
u,
och vilken del t o sätt lika med d
v
. LIPET är ett verktyg som kan hjälpa oss i denna strävan.
The LIPET Acronym
Ordet ”LIPET” är en akronym, vilket betyder att varje bokstav står för ett ord. I det här fallet representerar bokstäverna olika typer av funktioner. Dessa identifikationer är:
L = Logaritmisk function
I = Invers trigonometrisk funktion
P = Polynomfunktion
E = Exponentialfunktion
T = Trigonometrisk funktion
Detta ger en systematisk lista över vad man ska försöka ställa lika med
u
i formeln för integration av delar. Om det finns en logaritmisk funktion, försök att sätta denna lika med
u
, med resten av integranden lika med d
v
. Om det inte finns några logaritmiska eller inversa triggfunktioner, försök att ställa in ett polynom lika med
u
. Exemplen nedan hjälper till att förtydliga användningen av denna akronym.
Exempel 1
Tänk på ∫
x ln
x
dx
. Eftersom det finns en logaritmisk funktion, sätt denna funktion lika med
u
= ln x
. Resten av integranden är d
v
=
x
d
x
. Det följer att d
u
= d
x /
x
och det
v
=
x
2
/ 2.
Denna slutsats kunde hittas genom försök och misstag. Det andra alternativet skulle ha varit att ställa in
u
=
x
. Således skulle d
u
vara mycket lätt att beräkna. Problemet uppstår när vi tittar på d
v
= ln
x
. Integrera denna funktion för att bestämma
v
. Tyvärr är detta en mycket svår integral att beräkna.
Exempel 2
Betrakta integralen ∫ x
cos
x d
x
. Börja med de två första bokstäverna i LIPET. Det finns inga logaritmiska funktioner eller inversa trigonometriska funktioner. Nästa bokstav i LIPET, ett P, står för polynom. Eftersom funktionen
x
är ett polynom, sätt
u
=
x
och dv
= cos
x.
Detta är det korrekta valet att göra för integrering av delar som du
= d
x
och
v
= synd
x
. Integralen blir:
x
sin
x
– ∫ synd
x
d
x.
Få integralen genom en enkel integration av synd x
.
När LIPET misslyckas
Det finns vissa fall där LIPET misslyckas, vilket kräver inställning av
u
lika med en annan funktion än den ena föreskrivs av LIPET. Av denna anledning bör denna akronym endast ses som ett sätt att organisera tankar. Förkortningen LIPET ger oss också en översikt över en strategi att pröva när vi använder integrering av delar. Det är inte en matematisk teorem eller princip som alltid är sättet att arbeta igenom ett integrationsfördelarproblem.
