Medelvärdet och variansen för en slumpvariabel X med en binomisk sannolikhetsfördelning kan vara svår att beräkna direkt. Även om det kan vara tydligt vad som behöver göras för att använda definitionen av det förväntade värdet av X och X2, själva utförandet av dessa steg är en knepig jonglering av algebra och summeringar. Ett alternativt sätt att bestämma medelvärdet och variansen för en binomialfördelning är att använda den momentgenererande funktionen för X. Binomial slumpmässig variabel Börja med den slumpmässiga variabeln X och beskriv sannolikhetsfördelningen mer specifikt Utför n oberoende Bernoulli-försök, var och en av som har sannolikhet för framgång p och sannolikhet för misslyckande 1 – p. Sålunda är sannolikhetsmassfunktionen f (x) = C(n , x)px(1 – p)n – x Här termen C(n , x) anger antalet kombinationer av n element tagna x åt gången, och x kan ta värdena 0, 1, 2, 3, . . ., n. Använd denna sannolikhetsmassfunktion för att erhålla den momentgenererande funktionen för X: M(t) = Σx = 0n etxC(n ,x)>)px (1 – p)n – x. Det blir tydligt att man kan kombinera termerna med exponent av x: M(t) = Σx = 0n (sällskapsdjur)xC (n,x)>)(1 – p)n – x. Dessutom, genom att använda binomialformeln, uttrycket ovan är helt enkelt: M(t) = [(1 – p) + pet]n. Beräkning av medelvärdet Moment Genereringsfunktion
För att hitta medelvärde och varians måste du känna till båda M'(0) och M''(0). Börja med att beräkna dina derivator och utvärdera sedan var och en av dem till t = 0.
Du kommer att se att den första derivatan av den momentgenererande funktionen är:
M'(t) = n(sällskapsdjur )[(1 – p) + pet]n – 1 .
Från detta, du kan beräkna medelvärdet av sannolikhetsfördelningen. M(0) = n(pe0)[(1 – p) + pe0]n – 1 = np. Detta matchar uttrycket som vi fick direkt från definitionen av medelvärdet.
Beräkning av variansen
Beräkningen av variansen utförs på liknande sätt. Först, differentiera den momentgenererande funktionen igen, och sedan utvärderar vi denna derivata vid t = 0. Här ser du att
M''(t) = n (n – 1)(pet)2[(1 – p) + pet]n – 2 + n(pet)[(1 – p) + pet]n – 1.
För att beräkna variansen för denna slumpvariabel måste du hitta M''(t[(1 – p) + pe0] ). Här har du M''(0) = n( n – 1)p
2 +np. Variansen σ2 för din distribution är σ2
= M''(0) – [M’(0)]2 = n(n – 1)p2 +np – (np)2 = np(1 – p). Även om denna metod är något involverad är den inte lika komplicerad som att beräkna medelvärde och varians direkt från sannolikhetsmassfunktionen.
