Ett sätt att beräkna medelvärdet och variansen för en sannolikhetsfördelning är att hitta de förväntade värdena för de slumpmässiga variablerna X och X2. Vi använder notationen E(X) och E(X2) för att beteckna dessa förväntade värden. I allmänhet är det svårt att beräkna E(X
Strategin för detta problem är att definiera en ny funktion, av en ny variabel t
Antaganden Innan vi definierar den momentgenererande funktionen , vi börjar med att sätta scenen med notation och definitioner. Vi låter X vara en diskret slumpvariabel. Denna slumpvariabel har sannolikhetsmassfunktionen f(x). Exempelutrymmet som vi arbetar med kommer att betecknas med S. Istället för att beräkna det förväntade värdet av X, vill vi beräkna det förväntade värdet av en exponentialfunktion relaterad till X. Om det finns ett positivt reellt tal r så att E(etX) finns och är ändlig för alla t i intervallet [-r, r], då kan vi definiera den momentgenererande funktionen för X.
Definition
Den momentgenererande funktionen är det förväntade värdet för exponentialfunktionen ovan. Med andra ord säger vi att den momentgenererande funktionen för X ges av:
M(t) = E(etX)
Detta förväntade värde är formeln Σ etx f (x), där summeringen tas över alla x i provutrymmet S. Detta kan vara en ändlig eller oändlig summa, beroende på vilket sampelutrymme som används.
Egenskaper
Den momentgenererande funktionen har många funktioner som kopplar till andra ämnen inom sannolikhets- och matematisk statistik. Några av dess viktigaste funktioner inkluderar:
Koefficienten för etb är sannolikheten att X = b.
Momentgenererande funktioner har en unik egenskap. Om de momentgenererande funktionerna för två stokastiska variabler matchar varandra, måste sannolikhetsmassfunktionerna vara desamma. Med andra ord beskriver de slumpmässiga variablerna samma sannolikhetsfördelning.
Momentgenererande funktioner kan användas för att beräkna moment av X. Den sista posten i listan ovan förklarar namnet på momentgenererande funktioner och deras användbarhet. En del avancerad matematik säger att under de villkor som vi har lagt upp, derivatan av vilken ordning som helst av funktionen M (t) finns för när t = 0. Dessutom kan vi i detta fall ändra ordningen för summering och differentiering med respekt till t för att få följande formler (alla summeringar är över värdena för x i provutrymmet S): Beräknar Moments
tx f (x)
Om vi sätter t = 0 i formlerna ovan, då etx term blir e0 = 1. På så sätt får vi formler för momenten av den slumpmässiga variabeln X:
M'(0) = E(X)
M'''(0) = E(X3)
M(n )(0) = E(Xn)
Detta betyder att om den momentgenererande funktionen finns för en viss slumpvariabel, så kan vi hitta dess medelvärde och dess varians i termer av derivator av momentgenererande fungera. Medelvärdet är M'(0), och variansen är M'' (0) – [M’(0)]2.
Sammanfattning
Sammanfattningsvis var vi tvungna att vada in i lite ganska kraftfull matematik, så vissa saker försvann. Även om vi måste använda kalkyl för ovanstående, är i slutändan vårt matematiska arbete vanligtvis lättare än att beräkna momenten direkt från definitionen.
