Momentgenererande funktioner för slumpmässiga variabler

Ett sätt att beräkna medelvärdet och variansen för en sannolikhetsfördelning är att hitta de förväntade värdena för de slumpmässiga variablerna X och X2. Vi använder notationen E(X) och E(X2) för att beteckna dessa förväntade värden. I allmänhet är det svårt att beräkna E(X

) och E(X2) direkt. För att komma runt denna svårighet använder vi lite mer avancerad matematisk teori och kalkyl. Slutresultatet är något som gör våra beräkningar enklare.

Strategin för detta problem är att definiera en ny funktion, av en ny variabel t

som kallas den momentgenererande funktionen. Denna funktion tillåter oss att beräkna moment genom att helt enkelt ta derivator.

Antaganden

Innan vi definierar den momentgenererande funktionen , vi börjar med att sätta scenen med notation och definitioner. Vi låter X vara en diskret slumpvariabel. Denna slumpvariabel har sannolikhetsmassfunktionen f(x). Exempelutrymmet som vi arbetar med kommer att betecknas med S.

Istället för att beräkna det förväntade värdet av X, vill vi beräkna det förväntade värdet av en exponentialfunktion relaterad till X. Om det finns ett positivt reellt tal r så att E(etX) finns och är ändlig för alla t i intervallet [-r, r], då kan vi definiera den momentgenererande funktionen för X.

Definition

Den momentgenererande funktionen är det förväntade värdet för exponentialfunktionen ovan. Med andra ord säger vi att den momentgenererande funktionen för X ges av:

M(t) = E(etX)

Detta förväntade värde är formeln Σ etx f (x), där summeringen tas över alla x i provutrymmet S. Detta kan vara en ändlig eller oändlig summa, beroende på vilket sampelutrymme som används.

Egenskaper

Den momentgenererande funktionen har många funktioner som kopplar till andra ämnen inom sannolikhets- och matematisk statistik. Några av dess viktigaste funktioner inkluderar:

  • Koefficienten för etb är sannolikheten att X = b.

  • Momentgenererande funktioner har en unik egenskap. Om de momentgenererande funktionerna för två stokastiska variabler matchar varandra, måste sannolikhetsmassfunktionerna vara desamma. Med andra ord beskriver de slumpmässiga variablerna samma sannolikhetsfördelning.

    Momentgenererande funktioner kan användas för att beräkna moment av X.

    Beräknar Moments

    Den sista posten i listan ovan förklarar namnet på momentgenererande funktioner och deras användbarhet. En del avancerad matematik säger att under de villkor som vi har lagt upp, derivatan av vilken ordning som helst av funktionen M (t) finns för när t = 0. Dessutom kan vi i detta fall ändra ordningen för summering och differentiering med respekt till t för att få följande formler (alla summeringar är över värdena för x i provutrymmet S):

  • M'(t) = Σ xetx f (x)
  • M''(t) = Σ x2e

    tx f (x)

  • M'''(t) = Σ x3etx f (x)
  • M(n)'(t) = Σ xnetx f (x)
  • Om vi ​​sätter t = 0 i formlerna ovan, då etx term blir e0 = 1. På så sätt får vi formler för momenten av den slumpmässiga variabeln X:

  • M'(0) = E(X)

  • M''(0) = E(X2)
  • M'''(0) = E(X3)

  • M(n )(0) = E(Xn)

  • Detta betyder att om den momentgenererande funktionen finns för en viss slumpvariabel, så kan vi hitta dess medelvärde och dess varians i termer av derivator av momentgenererande fungera. Medelvärdet är M'(0), och variansen är M'' (0) – [M’(0)]2.

    Sammanfattning

    Sammanfattningsvis var vi tvungna att vada in i lite ganska kraftfull matematik, så vissa saker försvann. Även om vi måste använda kalkyl för ovanstående, är i slutändan vårt matematiska arbete vanligtvis lättare än att beräkna momenten direkt från definitionen.

  • Lämna ett svar

    Relaterade Inlägg

    • The Notorious Benedict Arnold av Steve Sheinkin

    • En recension av Diary of a Wimpy Kid: Rodrick Rules

    • Mother Goose Board Böcker för spädbarn och småbarn

    • Bokrecension: The Librarian of Basra

    • The Magic Tree House-bokserien av Mary Pope Osborne

    • The Strange Case of Origami Yoda: Bokrecension