Opartiska och partiska skattare

Ett av målen med slutledningsstatistik är att uppskatta okända populationsparametrar. Denna uppskattning utförs genom att konstruera konfidensintervall från statistiska urval. En fråga blir, ”Hur bra estimerare har vi?” Med andra ord, ”Hur korrekt är vår statistiska process, i det långa loppet, för att uppskatta vår populationsparameter. Ett sätt att bestämma värdet av en skattare är att överväga om den är opartisk. Denna analys kräver att vi hittar det förväntade värdet av vår statistik

Parametrar och statistik

Vi börjar med att överväga parametrar och statistik. Vi tar hänsyn till slumpvariabler från en känd typ av distribution, men med en okänd parameter i denna fördelning. Den här parametern görs till en del av en population, eller så kan den vara en del av en sannolikhetstäthetsfunktion. Vi har också en funktion av våra slumpvariabler, och detta kallas en statistik. Statistiken (X₁, X_{2, . . . , Xn) uppskattar parametern T, och därför kallar vi den en skattare av T.}

Opartiska och partiska beräkningar

Vi definierar nu opartiska och partiska estimatorer. Vi vill att vår estimator ska matcha vår parameter på lång sikt. I ett mer exakt språk vill vi att det förväntade värdet av vår statistik ska vara lika med parametern. Om så är fallet säger vi att vår statistik är en opartisk skattare av parametern.

Om en estimator inte är en opartisk estimator, så är den en partisk estimator. Även om en partisk skattare inte har en bra anpassning av sitt förväntade värde till sin parameter, finns det många praktiska fall då en partisk skattare kan vara användbar. Ett sådant fall är när ett plus fyra konfidensintervall används för att konstruera ett konfidensintervall för en populationsandel.

Exempel på medel

Till se hur denna idé fungerar, kommer vi att undersöka ett exempel som hänför sig till medelvärdet. Statistiken

_{(X1 + X}2 _{+ . . . + Xn}

)/n

är känt som ett urvalsmedelvärde. Vi antar att de slumpmässiga variablerna är ett slumpmässigt urval från samma fördelning med medelvärdet μ. Det betyder att det förväntade värdet för varje slumpvariabel är μ.

När vi beräknar det förväntade värdet på vår statistik ser vi följande:

_{E[(X1 + X2 + . . . + Xn)/n] = (E[X1] + E[X2] + . . . + E[Xn])/n = (nE[X1] ))/n = E[X1] =}

μ.

Eftersom det förväntade värdet på statistiken matchar parametern som det uppskattade betyder detta att urvalets medelvärde är en opartisk skattare för populationsmedelvärdet.