Kvadrater är andra ordningens polynom, dvs ekvationer av variabler med exponenter som summerar till högst 2. Till exempel är x^2+3x+2 en kvadratisk. Att faktorisera det innebär att hitta dess rötter, så att (x-root1)(x-root2) är lika med den ursprungliga kvadratiska. Att kunna faktorisera en sådan formel är detsamma som att kunna lösa ekvationen x^2+3x+2=0, eftersom rötterna är värdena på x där polynomet är lika med noll.
Den omvända FOIL-metoden för faktorisering av kvadrater ställer frågan: Hur fyller man i formuläret (?x+?)(?x+?) när man faktoriserar ax^2+bx+c (a,b,c-konstanter)? Det finns några regler för factoring som kan hjälpa till att svara på detta.
”FOIL” har fått sitt namn från sin metod att multiplicera ut faktorer. För att multiplicera, säg, (2x+3) och (4x+5), kallas 2 och 4 ”första”, 3 och 5 kallas ”sista”, 3 och 4 kallas ”inre” och 2 och 5 kallas ”yttre.” Formen skulle därför kunna skrivas som (FOx+LI)(FIx+LO).
En användbar factoringregel för ax^2+bx+c är att notera att om c>0 måste LI och LO båda vara positiva eller båda negativa. På samma sätt, om a är positivt, måste FO och FI båda vara positiva eller båda negativa. Om c är negativt är antingen LI eller LO negativ, men inte båda. Återigen, detsamma gäller för a, FO och FI.
Om a,c>0, men b<0, då måste faktoriseringen göras så att LI och LO båda är negativa eller FO och FI båda är negativa. (Det spelar ingen roll vilket, eftersom båda sätten kommer att leda till en faktorisering.)
Regler för faktorisering av fyra termer
En regel för att faktorisera fyra termer av variabler är att dra ut vanliga termer. Till exempel har par i xy-5y+10-2x vanliga termer. Att dra ut dem ger: y(x-5) + 2(5-x). Notera likheten mellan vad som står inom parentes. Därför kan de också dras ut: y(x-5)-2(x-5) blir (y-2)(x-5). Detta kallas ”faktorering genom gruppering.”
Utöka gruppering till kvadrater
Regeln för faktorisering av fyra termer kan utökas till kvadrater. Regeln för att göra det är: hitta faktorer av a—c som summerar till b. Till exempel har x^2-10x+24 a—c=24 och b=-10. 24 har 6 och 4 som faktorer, som adderas till 10. Detta ger oss en ledtråd om det slutliga svaret vi letar efter: -6 och -4 multiplicerar också för att ge 24, och de summerar till b=-10.
Så nu skrivs kvadraten om med b delad upp: x^2 -6x-4x+24. Nu kan formeln faktoriseras som vid faktorisering genom gruppering, det första steget är: x(x-6) + 4(6-x).
