Enligt Euklid fortsätter en rak linje för evigt. När det finns mer än en linje i ett plan blir situationen mer intressant. Om två linjer aldrig skär varandra är linjerna parallella. Om två linjer skär varandra i rät vinkel — 90 grader — sägs linjerna vara vinkelräta. Nyckeln till att förstå hur linjer förhåller sig till varandra är begreppet lutning, vilket är förhållandet som alla linjer har till bakgrundsplanet.
Lutning
En horisontell linje har en lutning på noll. Om linjen är vertikal sägs lutningen vara odefinierad. För alla andra linjer hittas lutningen genom att rita (eller föreställa sig) en liten rät triangel bildad av korta vertikala och horisontella linjer där ett segment av linjen som testas är hypotenusan. Längden på den vertikala linjen dividerad med längden på den horisontella linjen är lutningen på linjen i fråga.
Parallella linjer
Parallella linjer har samma lutning. Du behöver inte rita linjerna och konstruera den definierande triangeln för att hitta lutningen. Om linjens ekvation är i rätt form kan du läsa lutningen direkt från formeln. Lutningsformen är y = mx + b. Manipulera din formel tills den är i denna form och ”m” är lutningen. Till exempel, om din linje har ekvationen Ax – By = C, en liten algebraisk manipulation sätter den i den ekvivalenta formen y = (A/B)x – C/B, så lutningen på denna linje är A/B.
Perpendikulära linjer
Lutningarna av vinkelräta linjer har ett specifikt förhållande. Om lutningen på linje nr 1 är m, kommer lutningen på en linje vinkelrät mot den att ha en lutning -1/m. Lutningarna av vinkelräta linjer är negativa reciproka till varandra. Om lutningen på en viss linje är 3, kommer alla linjer som är vinkelräta mot linjen att ha en lutning -1/3.
Bygga en specifik linje
Känneskap om sluttningar, parallella linjer och vinkelräta linjer tillåter du kan konstruera vilken linje som helst genom vilken punkt som helst. Betrakta till exempel problemet med att hitta ekvationen för en linje som går genom punkten (3, 4) och är vinkelrät mot linjen 3x + 4y = 5. Manipulerar man ekvationen för den kända linjen, får man y = -( 3/4)x + 5/4. Lutningen på denna linje är -3/4, och lutningen på linjen vinkelrätt mot denna linje är 4/3. De vinkelräta linjerna kommer att se ut så här: y = 4/3x + b. För linjen som går genom (3, 4) kan du koppla in siffrorna så här: 4 = 4/3(3) + b, vilket betyder att b = 0. Ekvationen för linjen som går igenom (3, 4) och är vinkelrät mot linjen 3x + 4y = 5 är y = 4/3x eller 4x – 3y = 0.
