Varje algebraelev på högre nivåer behöver lära sig att lösa andragradsekvationer. Dessa är en typ av polynomekvationer som inkluderar potensen 2 men ingen högre, och de har den allmänna formen: ax2+ bx + c = 0. Du kan lösa dessa genom att genom att använda kvadratiska ekvationsformeln, genom att faktorisera eller genom att fylla i kvadraten.
Leta först efter en faktorisering för att lösa ekvationen. Om det inte finns en men b-koefficienten är delbar med 2, fyll i kvadraten. Om inget av tillvägagångssätten är lätt, använd den kvadratiska ekvationsformeln.
Använda faktorisering för att lösa ekvationen
Faktorisering utnyttjar det faktum att den högra sidan av den vanliga andragradsekvationen är lika med noll. Det betyder att om du kan dela upp ekvationen i två termer inom parentes multiplicerade med varandra, kan du räkna ut lösningarna genom att tänka på vad som skulle göra varje parentes lika med noll. För att ge ett konkret exempel:
x^2 + 6x + 9 = 0
Jämför detta med standardformuläret:
ax^2 + bx + c = 0
I exemplet är a = 1, b = 6 och c = 9. Utmaningen med att faktorisera är att hitta två tal som adderas för att ge talet i b spot och multiplicera tillsammans för att få talet på platsen för c.
Så representerar talen med d och e, du letar efter siffror som uppfyller:
d + e = b
Eller i det här fallet, med b = 6: d + e = 6 Och d × e = c Eller i det här fallet, med c = 9: d × e = 9
Fokusera på att hitta siffror som är faktorer för c och lägg sedan ihop dem för att se om de är lika med b. När du har dina nummer, lägg dem i följande format:
(x + d) (x + e)
I exemplet ovan är både d och e 3:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Om du multiplicerar ut parenteserna kommer du att sluta med det ursprungliga uttrycket igen, och det är bra att kontrollera din faktorisering. Du kan köra igenom denna process (genom att multiplicera de första, inre, yttre och sedan sista delarna av parenteserna i tur och ordning — se Resurser för mer detaljer) för att se det omvänt:
(x + 3) (x + 3) &= (x × x ) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \ &= x^2 + 3x + 3x + 9 \ &= x^2 + 6x + 9
Effektiv faktorisering går igenom den här processen omvänt, men det kan vara utmanande att hitta rätt sätt att faktorisera andragradsekvationen, och den här metoden är inte idealisk för alla andragradsekvationer av denna anledning. Ofta måste man gissa på en faktorisering och sedan kontrollera den.
Problemet är nu att något av uttrycken inom parentes blir lika med noll genom ditt val av värde för x. Om endera parentesen är lika med noll, är hela ekvationen lika med noll, och du har hittat en lösning. Titta på det sista steget och du kommer att se att den enda gången parentesen blir noll är om x= −3. I de flesta fall har andragradsekvationer dock två lösningar.
Faktorisering är ännu mer utmanande om a inte är lika med en , men att fokusera på enkla fall är bättre i början.
Att fylla i kvadraten för att lösa ekvationen
Att fylla i kvadraten hjälper dig att lösa andragradsekvationer som inte lätt kan faktoriseras. Denna metod kan fungera för alla andragradsekvationer, men vissa ekvationer passar den mer än andra. Tillvägagångssättet går ut på att göra uttrycket till en perfekt fyrkant och lösa det. En generisk perfekt kvadrat expanderar så här:
( x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
För att lösa en andragradsekvation genom att fylla i kvadraten, få uttrycket i formen till höger om ovanstående. Dela först talet i positionen b med 2 och kvadrera sedan resultatet. Så för ekvationen:
x^2 + 8x = 0
Koefficienten b = 8, så b ÷ 2 = 4 och (b ÷ 2)
2 = 16.
Lägg till detta på båda sidor för att få:
x^2 + 8x + 16 = 16
Observera att denna form matchar den perfekta kvadratiska formen, med d = 4, så 2d = 8 och d
2 = 16. Detta betyder att:
Infoga detta i föregående ekvation för att få:
Lös nu ekvationen för x. Ta kvadratroten på båda sidorna för att få:
x + 4 = sqrt{16}
Subtrahera 4 från båda sidor för att få:
x = sqrt{16} – 4
Roten kan vara positiv eller negativ och ta den negativa roten ger:
x = -4 – 4 = -8
Hitta den andra lösningen med den positiva roten:
x = 4 – 4 = 0
Därför är den enda lösningen som inte är noll −8. Kontrollera detta med det ursprungliga uttrycket för att bekräfta.
Använda den kvadratiska formeln för att lösa ekvationen
Den andragradsekvationsformeln ser mer komplicerad ut än andra metoder, men det är den mest tillförlitliga metoden, och du kan använda den på vilken andragradsekvation som helst. Ekvationen använder symbolerna från den vanliga andragradsekvationen:
ax^2 + bx + c = 0
Och anger att:
x = frac{-b ± sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
Sätt in lämpliga siffror på deras platser och arbeta igenom formeln för att lösa, kom ihåg att försöka både subtrahera och addera kvadratroten och notera båda svaren. För följande exempel:
x^2 + 6x + 5 = 0
Du har a = 1, b = 6 och c = 5. Så formeln ger:
begin{aligned} x &= frac{-6 ± sqrt{6^2 – 4× 1×5}}{2×1} \ &= frac{-6 ± sqrt{36 – 20}}{2} \ &= frac{-6 ± sqrt{16}}{2} \ &= frac{-6 ± 4}{2} end{aligned}
Att ta det positiva tecknet ger:
begin{aligned} x &= frac{-6 + 4 }{2} \ &= frac{-2}{2} \ &= -1 end{aligned}
Och tar negativt tecken ger:
begin{aligned} x &= frac{-6 – 4}{2} \ &= frac{-10}{2} \ &= -5 end{aligned}
Vilka är de två lösningarna för ekvationen.
Hur man bestämmer den bästa metoden för att lösa kvadratiska ekvationer
Leta efter en faktorisering innan du försöker något annat. Om du kan hitta en är detta det snabbaste och enklaste sättet att lösa en andragradsekvation. Kom ihåg att du letar efter två tal som summerar b-koefficienten och multiplicera för att ge c koefficient. För denna ekvation:
x^2 + 5x + 6 = 0
Du kan se att 2 + 3 = 5 och 2 × 3 = 6, så:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) ( x + 3) = 0
Och x = −2 eller x = −3.
Om du inte kan se en faktorisering, kontrollera om b-koefficienten är delbar med 2 utan att använda bråk. Om det är det, är det förmodligen det enklaste sättet att lösa ekvationen att fylla i kvadraten.
Om ingen av metoderna verkar lämplig, använd formeln. Det här verkar vara det svåraste tillvägagångssättet, men om du är i ett prov eller på annat sätt pressat på tid kan det göra processen mycket mindre stressig och mycket snabbare.
