När du först börjar lösa algebraiska ekvationer får du relativt enkla exempel som x = 5 + 4 eller y = 5(2 + 1). Men när tiden kryper fram kommer du att ställas inför svårare problem som har variabler på båda sidor av ekvationen; till exempel, 3x =>x + 4 eller till och med det skrämmande y2= 9 – 3y2.
När detta händer, få inte panik: Du kommer att använda en rad enkla knep för att hjälpa dig att förstå dessa variabler.
Ditt första steg är att gruppera variablerna på ena sidan av likhetstecknet – vanligtvis till vänster. Tänk på exemplet med 3x =x + 4. Om du lägger till samma sak på båda sidor av ekvationen kommer inte att ändra dess värde, så du kommer att lägga till den additiva inversen av x, vilket är −x , på båda sidor (detta är samma sak som att subtrahera x från båda sidor). Detta ger dig:
3x – x = x + 4 – x
Vilket i sin tur förenklar till:
2x = 4
Tips
När du lägger till ett tal till dess additiv invers, blir resultatet noll – så att du i praktiken nollställer variabeln till höger.
Nu när dina variabeluttryck är på ena sidan av uttrycket är det dags att lösa variabeln genom att ta bort alla icke-variabla uttryck på den sidan av ekvationen. I det här fallet måste du ta bort koefficienten 2 genom att utföra den omvända operationen (dividera med 2). Som tidigare måste du utföra samma operation på båda sidor. Detta lämnar dig med:
frac{2x}{2} = frac{4}{ 2}
Vilket i sin tur förenklar till:
x = 2
Ett annat exempel
Här är ett annat exempel, med en exponents rynka; överväg ekvationen
y^2 = 9 – 3y^2
Du kommer att tillämpa samma process som du använde utan exponenterna:
Do” låt exponenten skrämma dig. Precis som med en ”normal” variabel av första ordningen (utan en exponent), kommer du att använda den additiva inversen för att ”nolla ut” −3y2 från höger sida av ekvationen. Lägg till 3y2 på båda sidor av ekvationen.
Detta ger dig:
y^2 + 3y^2 = 9 – 3y^2 + 3y^2
När det är förenklat resulterar detta i:
4y^2 = 9
Nu är det dags att lösa för y. Först, för att ta bort alla icke-variabler från den sidan av ekvationen, dividera båda sidorna med 4. Detta ger dig:
frac{4y^2}{4} = frac{9}{4}
Vilket i sin tur förenklar till:
y^2 = frac{9}{4} text{ eller } y^2 = frac{9}{4}
Nu har du bara variabeluttryck på vänster sida av ekvationen, men du löser för variabeln y, inte y2. Så du har ett steg till kvar.
Ta bort exponenten på vänster sida genom att använda en radikal med samma index. I det här fallet betyder det att man tar kvadratroten från båda sidorna:
sqrt{ y^2} = sqrt{frac{9}{4}}
Vilket sedan förenklas till:
y = frac{3}{2}
Ett specialfall: Factoring
Tänk om din ekvation har en blandning av variabler av olika grader (t.ex. några med exponenter och några utan, eller med olika grader av exponenter )? Sedan är det dags att faktorisera, men först börjar du på samma sätt som du gjorde med de andra exemplen. Tänk på exemplet med -2″>x^2 = -2 – 3x
Som tidigare, gruppera alla variabeltermer på ena sidan av ekvationen. Genom att använda den additiva inversa egenskapen kan du se att om du lägger till 3x på båda sidor av ekvationen kommer att ”nollställa” x ) term på höger sida.
x^2 + 3x = -2 – 3x + 3x
Detta förenklar till:
x^2 + 3x = -2
Som du kan se har du i praktiken, flyttade x över till vänster sida av ekvationen.
Här kommer factoring in. Det är dags att lösa för x, men du kan inte kombinera x2 och 3x. Så istället kan lite granskning och lite logik hjälpa dig att inse att att lägga till 2 på båda sidorna nollställer den högra sidan av ekvationen och skapar en form som är lätt att faktorisera till vänster. Detta ger dig:
x^2 + 3x + 2 = -2 + 2
Förenkling av uttrycket till höger resulterar i:
x^2 + 3x + 2 = 0
Nu när du har ställt in dig för att göra det enkelt, du kan faktorisera polynomet till vänster i dess beståndsdelar:
(x + 1)(x + 2) = 0
Eftersom du har två variabla uttryck som faktorer har du två möjliga svar på ekvationen. Ställ in varje faktor, (x + 1) och (x + 2), lika med noll och lös variabeln .
Inställning (x ) + 1) = 0 och om du löser x får du x = −1.
Inställning (x + 2) = 0 och löser du x får du x = −2.
Du kan testa båda lösningarna genom att ersätta dem i den ursprungliga ekvationen:
(-1)^2 + 3 × (-1) = -2 förenklar till 1 – 3 = -2 text{ eller } -2 = -2 vilket är sant , så detta x = −1 är en giltig lösning.
(-2)^2 + 3 × (-2) = -2 förenklar till 4 – 6 = -2 text{ eller , igen } -2 = -2
