Rationella uttryck verkar mer komplicerade än grundläggande heltal, men reglerna för att multiplicera och dividera dem är lätta att förstå. Oavsett om du tar itu med ett komplicerat algebraiskt uttryck eller hanterar ett enkelt bråktal, är reglerna för multiplikation och division i princip desamma. Efter att du lärt dig vad rationella uttryck är och hur de relaterar till vanliga bråk, kommer du att kunna multiplicera och dividera dem med tillförsikt.
Multiplicera och dividera rationella uttryck fungerar precis som att multiplicera och dividera bråk. För att multiplicera två rationella uttryck, multiplicera täljarna tillsammans och multiplicera sedan nämnarna tillsammans.
För att dividera ett rationellt uttryck med ett annat, följ samma regler som att dividera ett bråktal med ett annat. Vänd först upp och ner på bråket i divisorn (som du dividerar med) och multiplicera det sedan med bråket i utdelningen (som du dividerar).
Vad är ett rationellt uttryck?
Begreppet ”rationellt uttryck” beskriver ett bråktal där täljaren och nämnaren är polynom. Ett polynom är ett uttryck som 2x^2 + 3x + 1 sammansatt av konstanter, variabler och exponenter (som inte är negativa). Följande uttryck:
frac{x + 5}{x^2 – 4}
Ger ett exempel på ett rationellt uttryck. Detta har i princip formen av ett bråk, bara med en mer komplicerad täljare och nämnare. Observera att rationella uttryck endast är giltiga när nämnaren inte är lika med noll, så exemplet ovan är endast giltigt när x ≠ 2.
Multiplicera rationella uttryck
Att multiplicera rationella uttryck följer i princip samma regler som att multiplicera vilket bråk som helst. När du multiplicerar ett bråktal multiplicerar du en täljare med den andra och en nämnare med den andra, och när du multiplicerar rationella uttryck multiplicerar du en hel täljare med den andra täljaren och hela nämnaren med den andra nämnaren.
För en bråkdel skriver du:
begin{aligned} frac{2}{5} × frac{4}{7} &= frac{2 × 4}{5 × 7} \ ,\ &= frac{8}{35} end{aligned}
För två rationella uttryck använder du samma grundläggande process:
begin{aligned } frac{x + 5}{x – 4} × frac{x}{x + 1} &= frac{(x + 5) × x}{(x – 4) × (x + 1)} \ ,\ &= frac{x^2 + 5x}{x^2 -4x + x – 4} \ ,\ &= frac{x^2 + 5x}{x^2 – 3x – 4} end{aligned}
När du multiplicerar en hel tal (eller algebraiskt uttryck) med ett bråktal multiplicerar du helt enkelt bråkets täljare med hela talet. Detta beror på att vilket heltal som helst n kan skrivas som n / 1 , och sedan följer standardreglerna för att multiplicera bråk, faktorn 1 ändrar inte nämnaren. Följande exempel illustrerar detta:
begin{aligned} frac{x + 5}{x^2 – 4 } × x &= frac{x + 5}{x^2 – 4} × frac{x}{1} \ ,\ &= frac{(x + 5) × x}{(x ^2 – 4) × 1}\ ,\ =& frac{x^2 + 5x}{x^2 – 4} end{aligned}
Dela rationella uttryck
Som att multiplicera rationella uttryck, dividera rationella uttryck följer samma grundläggande regler som att dividera bråk. När du delar två bråk vänder du upp och ner på det andra bråket som första steg och multiplicerar sedan. Så:
Dela två rationella uttryck fungerar på samma sätt, så:
begin{aligned} frac{x + 3}{ 2x^2} ÷ frac{4}{3x} &= frac{x + 3}{2x^2} × frac{3x}{4} \ ,\ &= frac{(x + 3) × 3x}{2x^2 × 4} \ ,\ &= frac{3x^2 + 9x}{8x^2} end{aligned}
Detta uttryck kan förenklas, eftersom det finns en faktor av x (inklusive x2) i båda termerna i täljaren och en faktor på i nämnaren. En uppsättning x kan avbryta att ge: begin{aligned} frac{3x^2 + 9x}{8x^2} &= frac{x(3x + 9)} {8x^2} \ &= frac{3x + 9}{8x} end{aligned}
Du kan bara förenkla uttryck när du kan ta bort en faktor från hela uttrycket på toppen och botten enligt ovan. Följande uttryck:
frac{x – 1}{x}
Kan inte förenklas på samma sätt eftersom x i nämnaren delar hela termen i täljaren. Du kan skriva:
begin{aligned} frac{x-1}{x} &= frac{ x}{x} – frac{1}{x} \ &= 1 – frac{1}{x} end{aligned}
Om du vill, dock.
