Det finns fem huvudtyper av algebraiska ekvationer, kännetecknade av variablernas position, de typer av operatorer och funktioner som används och deras grafers beteende. Varje typ av ekvation har olika förväntade input och producerar en utdata med en annan tolkning. Skillnaderna och likheterna mellan de fem typerna av algebraiska ekvationer och deras användning visar mångfalden och kraften hos algebraiska operationer.
Monom/polynomekvationer
Monom och polynom är ekvationer som består av variabla termer med heltalsexponenter. Polynom klassificeras efter antalet termer i uttrycket: Monomial har en term, binomial har två termer, trinomial har tre termer. Alla uttryck med mer än en term kallas ett polynom. Polynom klassificeras också efter grad, vilket är numret på den högsta exponenten i uttrycket. Polynom med grader ett, två och tre kallas linjära, kvadratiska respektive kubiska polynom. Ekvationen x^2 – x – 3 kallas ett kvadratisk trinomial. Andragradsekvationer påträffas vanligen i algebra I och II; deras graf, känd som en parabel, beskriver bågen som spåras av en projektil som avfyras i luften.
Exponentiella ekvationer
Exponentiella ekvationer särskiljs från polynom genom att de har variabla termer i exponenterna. Ett exempel på en exponentiell ekvation är y = 3^(x – 4) + 6. Exponentialfunktioner klassificeras som exponentiell tillväxt om den oberoende variabeln har en positiv koefficient och exponentiell avklingning om den har en negativ koefficient. Exponentiella tillväxtekvationer används för att beskriva spridningen av populationer och sjukdomar samt finansiella begrepp som ränta (formeln för sammansatt ränta är Pe^(rt), där P är kapitalet, r är räntan och t är räntan. tid). Exponentiella sönderfallsekvationer beskriver fenomen som radioaktivt sönderfall.
Logaritmiska ekvationer
Logaritmiska funktioner är inversen av exponentialfunktioner. För ekvationen y = 2^x är den inversa funktionen y = log2 x. Logbasen b för ett tal x är lika med exponenten som du måste höja b till för att få talet x. Till exempel är log2 av 16 4 eftersom 2 till 4:e potens är 16. Det transcendentala talet ”e” används oftast som logaritmisk bas; logaritmbasen e kallas ofta den naturliga logaritmen. Logaritmiska ekvationer används i många typer av intensitetsskalor, som Richterskalan för jordbävningar och decibelskalan för ljudintensitet. Decibelskalan använder en logbas 10, vilket betyder att en ökning med en decibel motsvarar en tiofaldig ökning av ljudintensiteten.
Rationella ekvationer
Rationella ekvationer är algebraiska ekvationer av formen p(x) / q( x), där p(x) och q(x) båda är polynom. Ett exempel på en rationell ekvation är (x – 4) / (x^2 – 5x + 4). Rationella ekvationer är anmärkningsvärda för att ha asymptoter, som är värden på y och x som ekvationens graf närmar sig men aldrig når. En vertikal asymptot i en rationell ekvation är ett x-värde som grafen aldrig når — y-värdet går antingen till positiv eller negativ oändlighet när värdet på x närmar sig asymptoten. En horisontell asymptot är ett y-värde som grafen närmar sig när x går till positiv eller negativ oändlighet.
Trigonometriska ekvationer
Trigonometriska ekvationer innehåller de trigonometriska funktionerna sin, cos, tan, sek, csc och spjälsäng. Trigonometriska funktioner beskriver förhållandet mellan två sidor av en rätvinklig triangel, med vinkelmåttet som indata eller oberoende variabel och förhållandet som utdata eller beroende variabel. Till exempel beskriver y = sin x förhållandet mellan en rätvinklig triangels motsatta sida och dess hypotenusa för en måttvinkel x. Trigonometriska funktioner är distinkta genom att de är periodiska, vilket innebär att grafen upprepas efter en viss tid. Grafen för en vanlig sinusvåg har en period på 360 grader.
