Vad är De Morgans lagar?

Matematisk statistik kräver ibland användning av mängdlära. De Morgans lagar är två påståenden som beskriver växelverkan mellan olika mängdläraoperationer . Lagarna är att för två uppsättningar A och B:

^{(A ∩ B)^C = A^C DU ÄR}^C.

^{(A DU ÄR)^C}

= A^C

∩

FÖRE KRISTUS.

Efter att ha förklarat vad vart och ett av dessa påståenden betyder, kommer vi att titta på ett exempel på var och en av dessa används.

Mängdteorioperationer

De Morgans lagar relatera till samspelet mellan facket, korsningen och komplementet. Minnas det:

^{Skärningspunkten mellan mängderna A och B består av alla element som är gemensamma för båda A och B. Korsningen betecknas med A ∩
B.
Föreningen av uppsättningarna A och
B består av alla element som i antingen A eller B
, inklusive elementen i båda uppsättningarna. Korsningen betecknas med AU B.^{The komplement till mängden A består av alla element som inte är element i A. Detta komplement betecknas med A^C.}}

Nu när vi har återkallat dessa elementära operationer kommer vi att se uttalandet av De Morgans lagar. För varje par set A och

B vi har:

^{(A ∩ B}

)^C = A^{VALP
^C
^{(A U B}
)^C = A^C ∩ B
^C
Dessa två påståenden kan illustreras med hjälp av Venn-diagram. Som framgår nedan kan vi demonstrera genom att använda ett exempel. För att visa att dessa påståenden är sanna måste vi bevisa dem genom att använda definitioner av mängdteoretiska operationer.
Exempel på De Morgans lagar
Betrakta till exempel mängden reella tal från 0 till 5. Vi skriver detta i intervallnotation [0, 5] . Inom denna uppsättning har vi A = [1, 3] och B = [2, 4]. Dessutom, efter att ha tillämpat våra elementära operationer har vi:
Komplementet A^C
= [0, 1) U (3, 5]
Komplementet B
C = [2, 3]
Unionen A U B = [1, 4]
Korsningen A ∩B = [2, 3]
Vi börjar med att beräkna förbundet A^C}

DU ÄR

C. Vi ser att föreningen av [0, 1) U (3, 5] med [2, 3] är [0, 2) U (3, 5]. Korsningen A ∩ B är [2, 3]. Vi ser att komplementet till denna uppsättning [2, 3] också är [0, 2) U (3, 5]. På detta sätt har vi visat att A^VALP^C

= (A ∩ FÖRE KRISTUS.

Nu ser vi skärningspunkten mellan [0, 1) U (3, 5] och [2, 3] är [0, 1) U (4, 5]. Vi ser också att komplementet till [1, 4] också är [0, 1) U (4, 5]. På detta sätt har vi visat att AC ∩ B^C = (A U FÖRE KRISTUS.

Namngivning av De Morgans lagar

Genom hela logikens historia har människor som Aristoteles och William av Ockham har gjort uttalanden som motsvarar De Morgans lagar.

De Morgans lagar är uppkallade efter Augustus De Morgan, som levde 1806–1871. Även om han inte upptäckte dessa lagar, var han den första som introducerade dessa uttalanden formellt med hjälp av en matematisk formulering i propositionell logik.