I matematik är en funktion en process som du applicerar på en oberoende variabel x för att få den beroende variabeln y . Om du tänker på det som att ”gå från” din x för att komma fram till din y, går en invers funktion tvärtom från resultatet tillbaka till det ursprungliga värdet. På sätt och vis är en invers funktion motsatsen till originalet, och ”ångrar” processen.
En invers av en matematisk funktion omvänder rollerna för y och x i den ursprungliga funktionen.
Funktioner och inverser
Matematiker definierar en funktion som en process eller regel som genererar de ordnade paren av en uppsättning. Du kan tänka på den första medlemmen i paret som x av funktionen och den andra medlemmen som y . I en sann funktion har det första värdet bara ett lösningsvärde som följer med det. Så varje x-värde har bara ett motsvarande y-värde. Så, ekvationen för den horisontella linjen, y = 1 är en funktion, men den vertikala linjen, x = 1 är inte.
Rita en graf
Grafen för en funktion och dess invers är reflektioner av varandra, med en linje som representerar y = x fungerar som ”spegeln”. För att ta ett exempel, grafen för den naturliga logaritmfunktionen, ln(x), börjar vid negativ oändlighet vid y axeln och precis till höger om noll på x-axeln. Därifrån korsar den x-axeln vid punkten, (1,0) och har en något uppåtgående kurva över x axel. Dess invers, den naturliga exponentfunktionen exp(x), har x-axeln som sin asymptot, med start vid negativ oändlighet på x-axeln, precis ovanför den. Den korsar y-axeln vid (0,1) och kröker kraftigt uppåt. Rita de två funktionerna på en graf, rita sedan linjen y = x, så ser du att exp( x) och ln(x) speglar varandra.
Sinus och Cosinus
Även om sinus- och cosinusfunktionerna är relaterade, är den ena inte motsatsen till den andra. Sinus- och cosinusfunktionerna ger liknande grafiska resultat, även om cosinus ”leder” sinus med 90 grader. Dessutom är cosinus derivatan av sinus. Däremot är inversen av sinusfunktionen bågsinus, och inversen av cosinus är arccosinus.
Hitta en omvänd funktion
Det är relativt lätt att hitta inversen av många funktioner: Byt “y” och “x” i ekvationen och lös sedan för y. Tänk till exempel på ekvationen y = 2x + 4
Byter y mot x ger x = 2y + 4
Subtrahera 4 från båda sidor för att få x – 4 = 2y och dividera sedan båda sidor med 2 för att få frac{x}{2} – 2 = y som är den inversa funktionen.
Omvända icke-funktioner
Alla inverser av funktioner är inte också funktioner. Kom ihåg att definitionen av funktioner säger att varje x har bara ett y-värde. Även om arcsine är inversen av sinusfunktionen, är arcsine inte tekniskt en funktion, eftersom x-värden har oändligt många motsvarande y värden. Det är också sant med
y = x^2 text{ och } y = sqrt{x}
den första är en funktion och den andra är dess invers, men kvadratroten ger två motsvarande y-värden, positiva och negativa, vilket gör att den inte är en sann funktion.
