Trigonometri kan kännas som ett ganska abstrakt ämne. Hemliga termer som ”synd” och ”cos” verkar helt enkelt inte överensstämma med någonting i verkligheten, och det är svårt att få ett grepp om dem som begrepp. Enhetscirkeln hjälper till avsevärt med detta, och erbjuder en enkel förklaring av vilka siffror du får när du tar sinus, cosinus eller tangens för en vinkel. För alla studenter inom naturvetenskap eller matematik kan förståelse av enhetscirkeln verkligen cementera din förståelse av trigonometri och hur man använder funktionerna.
En enhetscirkel har en radie på ett. Föreställ dig ett xy-koordinatsystem som börjar i mitten av denna cirkel. Punktvinklarna mäts från där x = 1 och y = 0, på höger sida av cirkeln. Vinklarna ökar när du rör dig moturs.
Med detta ramverk och y för y-koordinaten och x för x-koordinaten för punkten på cirkeln: sin θ = y cos θ = x
Och följaktligen: tan θ = y /x
Vad är enhetscirkeln?
En ”enhets”-cirkel har en radie på 1. Med andra ord, avståndet från cirkelns centrum till någon del av kanten är alltid 1. Enheten mått spelar egentligen ingen roll, för det viktigaste med enhetscirkeln är att den gör många ekvationer och beräkningar mycket enklare.
Det fungerar också som en användbar grund för att titta på definitionerna av vinklar. Föreställ dig att cirkelns centrum sitter i mitten av ett koordinatsystem med en x-axel som löper horisontellt och en y-axel som löper vertikalt. Cirkeln korsar x-axeln vid x = 1, y = 0. Forskare och matematiker definierar vinkeln från den punkten rör sig moturs. Så punkten x =1, y = 0 på cirkeln är i en vinkel på 0°.
Definitionerna av synd och cos med enhetscirkeln
De vanliga definitionerna av sin, cos och tan som eleverna får avser trianglar. De anger:
”motsatsen” hänvisar till längden på sidan av triangel mittemot vinkeln, ”intilliggande” avser längden på sidan bredvid vinkeln och ”hypotenus” avser längden på triangelns diagonala sida.
Föreställ dig att du skapar en triangel så att hypotenusan alltid var enhetscirkelns radie, med ett hörn vid kanten av cirkeln och en i mitten. Detta betyder att hypotenusa = 1 i ekvationerna ovan, så de två första blir:
Om du gör vinkeln i fråga till den i mitten av cirkeln, motsatsen är bara y-koordinaten och den intilliggande är bara x-koordinat för punkten på cirkeln som rör vid triangeln. Med andra ord, sin returnerar y-koordinaten på enhetscirkeln (med hjälp av koordinater som börjar i mitten) för en given vinkel och cos returnerar x-koordinaten. Det är därför cos (0) = 1 och sin (0) = 0, för vid denna tidpunkt är det koordinaterna. Likaså cos (90) = 0 och sin (90) = 1, eftersom detta är punkten med x = 0 och y = 1. I ekvationsform: sin θ = y \ cos θ = x
Negativa vinklar är också lätta att förstå utifrån detta. De negativa vinklarna (mätt medurs från startpunkten) har samma x-koordinat som motsvarande positiva vinkel, så:
cos -θ = cos θ
Men y-koordinatväxlar, vilket betyder att sin -θ = -sin θ
Definitionen av solbränna med enhetscirkeln
Definitionen av solbränna som ges ovan är:
Eller, tänk i termer av koordinater:
Detta förklarar varför solbränna är odefinierat för 90° eller −270° och 270° eller −90° ( där x = 0), eftersom du inte kan dividera med noll.
Plotta trigonometrisk Funktioner
Att grafisera sin eller cos blir lättare när du tänker på enhetscirkeln. x-koordinaten varierar smidigt när du rör dig runt cirkeln, med början på 1 och minskar till ett minimum av −1 vid 180° och sedan öka på samma sätt. Sin-funktionen gör samma sak, men den ökar till ett maximalt värde på 1 vid 90° först, innan den följer samma mönster. De två funktionerna sägs vara 90° utanför ”fas” med varandra.
Att rita solbränna kräver att man dividerar y med x, och så är det mer komplicerat att rita, och har också punkter där det är odefinierat.
