Inom trigonometri är sinuslagen en formel som utvecklar ett samband mellan en triangels vinklar och längderna på dess sidor. Så länge du känner till minst två sidor och en vinkel, eller två vinklar och en sida, kan du använda sinuslagen för att hitta de andra saknade uppgifterna om din triangel. Men under en mycket begränsad uppsättning omständigheter kan du sluta med två svar på måttet för en vinkel. Detta är känt som det tvetydiga fallet med sinuslagen.
sinuslagen är särskilt användbar för alla icke-räta trianglar eftersom den justerar det traditionella sinusförhållandet så att det fungerar för många olika trianglar. Cosinuslagen är ett annat verktyg som använder ett pytagoreisk typförhållande för att bestämma sidorna i en triangel.
När det tvetydiga fallet kan inträffa
Det tvetydiga fallet med sinuslagen kan bara hända om den ”känd information”-delen av din triangel består av två sidor och en vinkel, där vinkeln är not mellan de två kända sidorna. Detta förkortas ibland som en SSA eller sidovinkeltriangel. Om vinkeln var mellan de två kända sidorna skulle den förkortas som en SAS eller sidovinkel-sidetriangel, och det tvetydiga fallet skulle inte gälla. Andra exempel på triangelformationer inkluderar SSS (som är en unik triangel), ASA (också ett unikt arrangemang) och AAA som inte är unikt.
Med tanke på en sådan triangel där endast SSA är känd är det möjliga antalet trianglar inte längre begränsat. Vi kan fortfarande använda sinusregeln med sinuslagen för att lösa en given sida eller motsatta vinklar, men det finns två möjliga utfall.
Den andra triangeln som skapas här genom att ’svänga’ sidan längre in skapar en sned triangel. Sida
b, sida a och vinkeln A hålls konstanta, men vinkel C, vinkel B och sida c varierar beroende på den andra givna informationen.
En sammanfattning av sinuslagen
Sinuslagen kan skrivas på två sätt, givet triangel ABC där a,b,c är sidolängder på triangeln och A,B,C är motsvarande vinklar över från varje sida. Det första formuläret är praktiskt för att hitta måtten på saknade sidor:
frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}
Den andra formen är bekväm för att hitta måtten på saknade vinklar:
frac{sin A}{a} = frac{sin B}{b} = frac{sin C }{c}
Observera att båda formerna är likvärdiga. Att använda det ena eller det andra formuläret kommer inte att ändra resultatet av dina beräkningar. Det gör dem bara lättare att arbeta med beroende på vilken lösning du letar efter.
Hur man använder sinuslagen
I de flesta fall är den enda ledtråden att du kan ha ett tvetydigt fall på dina händer är närvaron av en SSA-triangel där du ombeds hitta en av de saknade vinklarna. Föreställ dig att du har en triangel med vinkeln
A = 35 grader, sidan a= 25 enheter och b = 38 enheter, och du har blivit ombedd att hitta måttet på vinkeln B. När du har hittat den saknade vinkeln måste du kontrollera om det tvetydiga fallet gäller.
Infoga din kända information i sinuslagen. Med den andra formen ger detta dig:
frac{ sin 35}{25} = frac{sin B}{38} = frac{sin C}{c}
Vi kan bortse från den tredje termen med C och c som vi bara försöker lösa för vinkel B (som sedan kan ge oss den återstående informationen) så det är irrelevant för denna beräkning. Så egentligen har du:
frac{sin 35 }{25} = frac{sin B}{38}
Lös för B. Ett alternativ är att multiplicera nämnaren över; detta ger dig:
38 times frac{sin 35}{25} = sin B
Förenkla sedan genom att använda en kalkylator eller ett diagram för att hitta värdet på sin(35). Det är ungefär 0,57358, vilket ger dig:
sin B = frac{38}{25} times 0,57358
Detta förenklas sedan, vilket ger dig:
sin B = 0,8718416
För att slutföra lösningen för
B,, ta arcsin eller invers sinus på 0,8718416. Eller, med andra ord, använd din miniräknare eller diagram för att hitta det ungefärliga värdet för en vinkel B som har sinus 0,8718416. Den vinkeln är ungefär 61 grader.
Söker efter det tvetydiga fallet
Nu när du har en första lösning är det dags att kontrollera tvetydigt fall. Detta fall dyker upp eftersom det för varje spetsig vinkel finns en trubbig vinkel med samma sinus. Så även om ~61 grader är den spetsiga vinkeln som har ett sinusvärde motsvarande 0,8718416, måste du också överväga den trubbiga vinkeln som en möjlig lösning. Det här är lite knepigt eftersom din miniräknare och ditt diagram över sinusvärden med största sannolikhet inte kommer att berätta om den trubbiga vinkeln, så du måste komma ihåg att kontrollera det.
Hitta den trubbiga vinkeln med samma sinus by subtrahera vinkeln du hittade – 61 grader – från 180 (känd som dess kompletterande vinkel). Så du har 180 – 61 = 119. Så 119 grader är den trubbiga vinkeln som har samma sinus som 61 grader. (Du kan kontrollera detta med en miniräknare eller sinusdiagram.)
Men kommer den trubbiga vinkeln att bli en giltig triangel med den andra informationen du har? Du kan enkelt kontrollera genom att lägga till den nya, trubbiga vinkeln till den givna vinkeln från det ursprungliga problemet. Om summan är mindre än 180 grader representerar den trubbiga vinkeln en giltig lösning, och du måste fortsätta alla ytterligare beräkningar med both möjliga trianglar i beaktande. Om summan är mer än 180 grader representerar den trubbiga vinkeln inte en giltig lösning.
I detta fall var den givna vinkeln 35 grader, och den nyligen upptäckta trubbiga vinkeln var 119 grader. Eftersom 119 + 35 = 154 grader vilket är mindre än 180, gäller det tvetydiga fallet och du har två giltiga lösningar: vinkeln i fråga kan mäta 61 grader, eller den kan mäta 119 grader. Det är viktigt att notera att den tredje okända sidan också varierar med dessa vinkelmått, och det gör även den icke inkluderade vinkeln.
