En fråga i mängdteorin är om en mängd är en delmängd av en annan mängd. En delmängd av A är en mängd som bildas genom att använda några av elementen från mängden A. För att B ska vara en delmängd av A, måste varje element i B också vara ett element av A.
Varje mängd har flera delmängder. Ibland är det önskvärt att känna till alla delmängder som är möjliga. En konstruktion som kallas kraftmängden hjälper till i denna strävan. Powermängden för mängden A är en mängd med element som också är mängder. Denna effektmängd bildas genom att inkludera alla delmängder av en given mängd A.
Exempel 1 Vi kommer att överväga två exempel på effektmängder. För det första, om vi börjar med set A = {1, 2, 3}, vad är då effektvärdet? Vi fortsätter genom att lista alla delmängder av A.- Den tomma mängden är en delmängd av A. Den tomma uppsättningen är faktiskt en delmängd av varje uppsättning. Detta är den enda delmängden utan element av A.
- Mängderna {1}, {2}, {3} är de enda delmängderna av A med ett element.
- Uppsättningarna {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} är de enda delmängderna av A med två element.
- Varje uppsättning är en delmängd av sig själv. Således är A = {1, 2, 3} en delmängd av A. Detta är den enda delmängden med tre element.
A
A
A
Exempel 2
För den andra Exempelvis kommer vi att betrakta potensmängden för B ={1, 2, 3, 4}. Mycket av det vi sa ovan är liknande, om inte identiskt nu:Den tomma uppsättningen och B är båda delmängder.
- Eftersom det finns fyra element i B, finns det fyra delmängder med ett element: {1} , {2}, {3}, {4}.
- Eftersom varje delmängd av tre element kan bildas genom att eliminera ett element från B och det finns fyra element, det finns fyra sådana delmängder: {1, 2, 3}, {1, 2, 4 }, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
- Det återstår att bestämma delmängderna med två element. Vi bildar en delmängd av två element valda från en uppsättning av 4. Detta är en kombination och det finns C (4, 2 ) =6 av dessa kombinationer. Delmängderna är: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.
B
B
Notation Det finns två sätt att ställa in effekten av en mängd A betecknas. Ett sätt att beteckna detta är att använda symbolen P( A), där ibland denna bokstav P skrivs med ett stiliserat manus. En annan notation för potensmängden A är 2A. Denna notation används för att koppla kraftuppsättningen till antalet element i kraftuppsättningen. Strömsatsens storlek
Vi kommer att undersöka denna notation ytterligare. Om A är en finit mängd med n element, då dess potensmängd P( A ) kommer att ha 2
n element. Om vi arbetar med en oändlig mängd, är det inte bra att tänka på 2n element. Men en Cantors sats säger oss att kardinaliteten för en mängd och dess potensmängd inte kan vara densamma. Det var en öppen fråga i matematik om kardinaliteten för kraftmängden för en räkningsbar oändlig mängd matchar realernas kardinalitet. Lösningen av denna fråga är ganska teknisk, men säger att vi kan välja att göra denna identifiering av kardinaliteter eller inte. Båda leder till en konsekvent matematisk teori.
Power sätter in sannolikhet Ämnet sannolikhet bygger på mängdteori. Istället för att hänvisa till universella mängder och delmängder talar vi istället om exempelrum och händelser. Ibland när vi arbetar med ett provutrymme vill vi bestämma händelserna i det provutrymmet. Kraftuppsättningen av provutrymmet som vi har kommer att ge oss alla möjliga händelser.
- Den tomma mängden är en delmängd av A. Den tomma uppsättningen är faktiskt en delmängd av varje uppsättning. Detta är den enda delmängden utan element av A.
- Mängderna {1}, {2}, {3} är de enda delmängderna av A med ett element.
- Uppsättningarna {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} är de enda delmängderna av A med två element.
- Varje uppsättning är en delmängd av sig själv. Således är A = {1, 2, 3} en delmängd av A. Detta är den enda delmängden med tre element.
- Vi kommer att överväga två exempel på effektmängder. För det första, om vi börjar med set A = {1, 2, 3}, vad är då effektvärdet? Vi fortsätter genom att lista alla delmängder av A.
A
A
A
Exempel 2
A
A
A
Exempel 2
- För den andra Exempelvis kommer vi att betrakta potensmängden för B ={1, 2, 3, 4}. Mycket av det vi sa ovan är liknande, om inte identiskt nu:
- Eftersom det finns fyra element i B, finns det fyra delmängder med ett element: {1} , {2}, {3}, {4}.
- Eftersom varje delmängd av tre element kan bildas genom att eliminera ett element från B och det finns fyra element, det finns fyra sådana delmängder: {1, 2, 3}, {1, 2, 4 }, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
- Det återstår att bestämma delmängderna med två element. Vi bildar en delmängd av två element valda från en uppsättning av 4. Detta är en kombination och det finns C (4, 2 ) =6 av dessa kombinationer. Delmängderna är: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.
Den tomma uppsättningen och B är båda delmängder.
Den tomma uppsättningen och B är båda delmängder.
B
B
Notation Det finns två sätt att ställa in effekten av en mängd A betecknas. Ett sätt att beteckna detta är att använda symbolen P( A), där ibland denna bokstav P skrivs med ett stiliserat manus. En annan notation för potensmängden A är 2A. Denna notation används för att koppla kraftuppsättningen till antalet element i kraftuppsättningen. Strömsatsens storlek
. Denna notation används för att koppla kraftuppsättningen till antalet element i kraftuppsättningen. Strömsatsens storlek
Strömsatsens storlek
Vi kommer att undersöka denna notation ytterligare. Om A är en finit mängd med n element, då dess potensmängd P( A ) kommer att ha 2
n element. Om vi arbetar med en oändlig mängd, är det inte bra att tänka på 2n element. Men en Cantors sats säger oss att kardinaliteten för en mängd och dess potensmängd inte kan vara densamma. Det var en öppen fråga i matematik om kardinaliteten för kraftmängden för en räkningsbar oändlig mängd matchar realernas kardinalitet. Lösningen av denna fråga är ganska teknisk, men säger att vi kan välja att göra denna identifiering av kardinaliteter eller inte. Båda leder till en konsekvent matematisk teori.
Power sätter in sannolikhet Ämnet sannolikhet bygger på mängdteori. Istället för att hänvisa till universella mängder och delmängder talar vi istället om exempelrum och händelser. Ibland när vi arbetar med ett provutrymme vill vi bestämma händelserna i det provutrymmet. Kraftuppsättningen av provutrymmet som vi har kommer att ge oss alla möjliga händelser.
element. Men en Cantors sats säger oss att kardinaliteten för en mängd och dess potensmängd inte kan vara densamma. Det var en öppen fråga i matematik om kardinaliteten för kraftmängden för en räkningsbar oändlig mängd matchar realernas kardinalitet. Lösningen av denna fråga är ganska teknisk, men säger att vi kan välja att göra denna identifiering av kardinaliteter eller inte. Båda leder till en konsekvent matematisk teori.
Det var en öppen fråga i matematik om kardinaliteten för kraftmängden för en räkningsbar oändlig mängd matchar realernas kardinalitet. Lösningen av denna fråga är ganska teknisk, men säger att vi kan välja att göra denna identifiering av kardinaliteter eller inte. Båda leder till en konsekvent matematisk teori.
Power sätter in sannolikhet Ämnet sannolikhet bygger på mängdteori. Istället för att hänvisa till universella mängder och delmängder talar vi istället om exempelrum och händelser. Ibland när vi arbetar med ett provutrymme vill vi bestämma händelserna i det provutrymmet. Kraftuppsättningen av provutrymmet som vi har kommer att ge oss alla möjliga händelser.
